In acest articol vom considera unele submultimi remarcabile ale unui grup, vom stabili cateva proprietati ale grupurilor, si vom demonstra ecuatia claselor. In acest scop vom considera cunoscute urmatoarele:
- Notiunea de grup. Vom nota un grup cu
.
- Notiunea de subgrup al unui grup.
- Notiunile de H – comultime stanga si H – comultime dreapta , unde
este un subgrup al unui grup
.
- Notatiile
pentru multimea H – comultimilor stanga , respectiv multimea H – comultimilor dreapta .
- Teorema lui Lagrange pentru grupurile finite si notiunea de indice al unui subgrup
intr-un grup
.
Definitia 1.
Fie un grup si
. Multimea
se numeste centralizatorul multimii
in
.
Teorema 1.
Daca este un grup si
, atunci
este un subgrup al lui
.
Demonstratie.
Fie si
. Avem:
.
.
Din (1) si (2), rezulta subgrup al grupului
.
Observatii:
- In cazul particular in care
, multimea
se mai numeste centralizatorul elementului
(elementele sale comuta cu elementul
).
- In cazul particular in care
, multimea
se mai numeste centrul grupului
(elementele sale comuta cu orice element din
) . Grupul
este grup abelian daca si numai daca
.
- Daca
, se arata usor ca
, deci in particular
este subgrup al oricarui centralizator.
- Este valabila egalitatea
.
Definitia 2.
Fie un grup si
. Normalizatorul multimii
in
este prin definitie multimea
Teorema 2.
Daca este un grup si
, atunci
este un subgrup al lui
, iar
este un subgrup al lui
.
Demonstratie.
Fie . Avem:
Din (3) si (4), rezulta subgrup al grupului
. Pentru a arata ca
este un subgrup al lui
este suficient sa aratam incluziunea
. Intr-adevar
, deci rezulta
.
Observatie.
In cazul particular in care , multimea
( normalizatorul elementului
) coincide centralizatorul acestui element .
Exemplu.
Vom considera un grup neabelian cu elemente, anume grupul diedral
, unde
si
. Se probeaza imediat ca in acest grup au loc urmatoarele egalitati:
;
:
;
;
;
;
.
Demonstratie.
Tinand cont de faptul ca , se obtin si egalitatile
si se poate completa tabla grupului
.

Astfel punctele a), b), c), d) rezulta pe baza simetriilor din tabel fata de diagonala principala si demonstram celelalte puncte.Intra-adevar:
Apoi avem:
Din (7),(8),….,(14) rezulta ca normalizatorul multimii in
este multimea
si prin aceeasi metoda se arata ca
Observatie.
Centralizatoarele sunt subgrupuri ciclice de ordinul
ale lui
, iar centralizatoarele
sunt subgrupuri ale lui
izomorfe cu grupul lui Klein .
Definitia 3.
Fie un grup si
. Clasa de conjugare a multimii
in
este prin definitie multimea de multimi
Teorema 3.
Demonstratie.
Fie este un grup si
. Atunci multimile
sunt echipotente. Daca
este grup finit, atunci cardinalul multimii
este egal cu indicele lui
in
.
Fie functia . Evident
este functie surjectiva si aratam ca este si injectiva. Intr-adevar daca
, astfel incat
, avem:
de unde rezulta injectiva. Deci multimile
sunt echipotente iar in cazul in care grupul este finit, cele doua multimi avand acelasi cardinal, se obtine
.
Teorema 4.
Fie un grup si
. Atunci:
daca si numai daca
.
sau
.
Demonstratie.
a)Implicatia directa este evidenta si demonstram implicatia inversa prin dubla incluziune. Avem:
Apoi din rezulta
( deci
) si analog se arata ca
.
b)Fie , deci exista
astfel incat
, de unde rezulta
si conform punctului (a)
.
Observatii:
- In cazul particular in care
, multimea
se numeste clasa de conjugare a elementului
.
- Multimile
sunt echipotente ( normalizatorul
coincide cu centralizatorul
).
- Daca
avem
, deci
.
- Daca
este grup finit, atunci
pentru orice submultime nevida
si
pentru orice element
.
Teorema 5 (ecuatia claselor)
Daca este un grup finit, atunci exista exista
astfel incat
si multimile
sunt disjuncte doua cate doua .
.
Demonstratie.
a)Fie . Avem
si cum
, deci
.
Alegem si tinand cont de teorema 4, relatia (15) si de faptul ca grupul este finit, rezulta concluzia.
b)Din punctul (a) si si egalitatea (teorema 3).
Exemplu.
In grupul diedral (din exemplul anterior) sunt adevarate urmatoarele egalitati:
.
;
;
;
.
Demonstratie.
Tinand cont din nou de egalitatile obtinem:
Punctul ( e ) se demonstreaza asemanator si se constata verificarea ecuatiei claselor:
Academia de matematica aici:htpp://robeauty.ro
