Schema lui Poisson (binomiala generalizata)

Ne ocupam mai intai de schema lui Poisson cu doua culori.

Consideram n  urne U1, U2,…..,Un contin fiecare bile de doua culori c1 si c2, astfel incat:

  • probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c1 , c2  din urna U1 sunt p1 respectiv q1=1-p1 ;
  • probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c1 , c2  din urna U2 sunt p2 respectiv q2=1-p2 ;
  • ……………………………………………………………………………………………………………..
  • probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c1 , c2  din urna Un sunt pn respectiv qn=1-pn .

Din fiecare urna extragem cate o bila si notam cu A_{i+j}^{i,j} evenimentul  extragerii a i  bile de culoare c1 si a  j  bile de culoare c2  ( i+j = n ). Atunci probabilitatea evenimentului  A_{i+j}^{i,j}  este coeficientul lui  xi · y j  din dezvoltarea:

\left ( p_{1}x+q_{1}y \right )\left ( p_{2}x+q_{2}y \right ).....\left ( p_{n}x+q_{n}y \right ).

Intr-adevar notand cu Am , Bm  evenimentele extragerii unei bile de culoare c1 , respectiv de culoare c2 , din urna Um , m∈{ 1,2,….,n }, atunci evenimentul A_{i+j}^{i,j}  se scrie ca o reuniune de evenimente incompatibile doua cate doua astfel:

A_{i+j}^{i,j}=\bigcup_{1\leq r_{1}<....r_{i}\leq n;1\leq s_{1}<....\leq s_{j}\leq n;\left \{ r_{1} ,....,r_{i}\right \}\cup \left \{ s_{1},....,s_{j} \right \}=\left \{ 1,2,....,n \right \}}^{ }\left [ \left ( A_{r_{1}} \cap ....\cap A_{r_{i}} \right )\cap \left ( B_{s_{1}} \cap ....\cap B_{s_{j}} \right ) \right ] .

Tinand cont si de faptul ca evenimentele Am si  Bmm∈{ 1,2,….,n }  sunt independente obtinem:

P\left (A_{i+j}^{i,j} \right )=

\sum_{1\leq r_{1}<....r_{i}\leq n;1\leq s_{1}<....\leq s_{j}\leq n;\left \{ r_{1} ,....,r_{i}\right \}\cup \left \{ s_{1},....,s_{j} \right \}=\left \{ 1,2,....,n \right \}}^{ }P\left [ \left ( A_{r_{1}} \cap ....\cap A_{r_{i}} \right )\cap \left ( B_{s_{1}} \cap ....\cap B_{s_{j}} \right ) \right ]=

\sum_{1\leq r_{1}<....r_{i}\leq n;1\leq s_{1}<....\leq s_{j}\leq n;\left \{ r_{1} ,....,r_{i}\right \}\cup \left \{ s_{1},....,s_{j} \right \}=\left \{ 1,2,....,n \right \}}^{ }p_{r_{1}}\cdot ...p_{r_{i}}\cdot q_{s_{1}}\cdot ...\cdot q_{s_{j}} ,

de unde rezulta concluzia.

 

Schema lui Poisson cu doua culori se poate generaliza la schema lui Poisson cu mai multe culori, de exemplu pentru trei culori:

Consideram n  urne U1, U2,…..,Un contin fiecare bile de trei culori c1 , c2  si  c3 , astfel incat:

  • probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c1 , c2 , c3  din urna U1 sunt p1 , q1 , respectiv r1 = 1-p1q1 ;
  • probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c1 , c2 , c3  din urna U2 sunt p2 , q2  , respectiv r2 = 1-p2q2 ;
  • ……………………………………………………………………………………………………………..
  • probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c1 , c2 , c3  din urna Un sunt pn , qn , respectiv rn = 1-pnqn .

Din fiecare urna extragem cate o bila si notam cu A_{i+j+k}^{i,j,k} evenimentul  extragerii a i  bile de culoare c1 , a  j  bile de culoare c2  si a k  bile de culoare c2 ( i+j+k = n ). Atunci probabilitatea evenimentului  A_{i+j+k}^{i,j,k}  este coeficientul lui   xi · y j  · zk din dezvoltarea:

\left ( p_{1}x+q_{1}y+r_{1}z \right )\left ( p_{2}x+q_{2}y+r_{2}z \right ).....\left ( p_{n}x+q_{n}y+r_{n}z \right ).

Exemplu:

Situatiea limbii materne a locuitorilor a trei orase A, B, C se prezinta astfel:

  • In orasul A , 45% dintre locuitori au limba materna engleza, 35% franceza si restul o alta limba;
  • In orasul B35% dintre locuitori au limba materna engleza, 50% franceza si restul o alta limba;
  • In orasul C55% dintre locuitori au limba materna engleza, 40% franceza si restul o alta limba .

Daca se alge la intamplare cate un locuitor din fiecare oras, atunci, folosind schema lui Poisson cu trei culori, probabilitatea ca cele trei persone sa aiba limbi materne diferite este coeficientul lui x ·y ·z din dezvoltarea

(0,45x+0,35y+0,20z)(0,35x+0,50y+0,15z)(0,55x+0,40y+0,05z)  , adica

p=0,45·0,50·0,05+0,45·0,15·0,40+0,35·0,35·0,05+

0,35·0,15·0,55+0,20·0,35·0,40+0,20·0,50·0,55=0,15625≅0,16 .

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

Telekom.ro

Reclame

Schema lui Pascal (schema geometrica sau schema succesului)

Fie o urna care contine bile albe si bile negre. Daca se extrage o bila alba spunem ca am avut succes, iar in caz contrar spunem ca am avut insucces. Consideram ca probabilitatea de a avea succes este p iar probabilitatea de a avea insucces este q=1-p.

Extragem din urna pe rand cate o bila cu intoarcere si notam cu A_{n}^{k}  evenimentul ca pana la al n-lea succes sa fi avut insuccese (0≤k≤n-1 ). Atunci probabilitatea evenimentului A_{n}^{k}  este data de formula:

P\left (A_{n}^{k} \right )=C_{n+k-1}^{k} \: p^{n} q^{k} .

Intr-adevar notam cu X_{n+k-1}^{k} evenimentul ca in primele n+k-1 extrageri sa fi avut k   insuccese si  n-1 succese si cu Y  evenimentul ca la extragere n-k  sa avem succes. Din schema lui Bernoulli avem P\left (X_{n+k-1}^{k} \right ) =C_{n+k-1}^{k}q^{k}p^{n-1} si cum evenimentele X_{n+k-1}^{k}  si Y  sunt independente obtinem:

P\left (A_{n}^{k} \right ) =P\left (X_{n+k-1}^{k} \cap Y \right )=P\left (X_{n+k-1}^{k} \right ) \cdot P\left ( Y \right )=

=C_{n+k-1}^{k}q^{k}p^{n-1}\cdot p=C_{n+k-1}^{k}p^{n}q^{k} .

Exemplu:

Daca un tragator nimereste tinta cu probabilitatea p = 0,7 , atunci probabilitatea ca tragatorul sa nimereaca tinta dupa 4 ratari este P\left (A_{1}^{4} \right ) =C_{1+4-1}^{4}\cdot 0,7^{5}\cdot 0,3^{4}\cong 0,0056 .

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

Cel.ro

Shema hipergeometrica (a bilei neintoarsa)

Consideram o urna care contine:

  • N1  bile de culoarea c1 ;
  • N2  bile de culoarea c2 ;
  • ……………………………;
  • Nr  bile de culoarea cr .

Extragem din urna n  bile fara intoarcere si notam  cu A_{{k_{1}+k_{2}+.....+k_{r}}}^{k_{1},k_{2},.....,k_{r}}   evenimentul ca din cele n  bile extrase k1  bile sa aiba culoarea c1 , k2  bile sa aiba culoarea c2 ,…..,kr  bile sa aiba culoarea cr
( k1N1 , k2≤N2 ,….. ,kr≤Nr , k1+k2+….+kr = n ). Atunci probabilitatea evenimentului A_{{k_{1}+k_{2}+.....+k_{r}}}^{k_{1},k_{2},.....,k_{r}} este data de formula:

P\left (A_{{k_{1}+k_{2}+.....+k_{r}}}^{k_{1},k_{2},.....,k_{r}} \right )=\frac{C_{N_{1}}^{k_{1}}\cdot C_{N_{2}}^{k_{2}}\cdot .....\cdot C_{N_{r}}^{k_{r}}}{C_{N_{1}+N_{2}+....+N_{r}}^{k_{1}+k_{2}+.....+k_{r}}}

Intr-adevar numarul de cazuri posibile este C_{N_{1}+N_{2}+.....+N_{r}}^{k_{1}+k_{2}+......k_{r}}, iar numarul de moduri in care pot fi alese ki  bile  de culoare ci  este C_{N_{i}}^{k_{i}},i\epsilon \left \{ 1,2,...,r \right \}, deci conform principiului multiplicitatii numarul de cazuri favorabile este C_{N_{1}}^{^{k_{1}}}\cdot C_{N_{2}}^{^{k_{2}}}\cdot ......\cdot C_{N_{r}}^{^{k_{r}}}  .

Exemplu:

Daca intr-un set de 100 de chestionare asupra unei opinii , se stie ca 45 de persoane au raspuns „da”, 35 au raspuns „nu”  si 20 au raspuns „nu stiu”, atunci atunci probabilitatea ca alegand la intamplare 10  chestionare din cele 100, sa gasim in acestea 6 raspunsuri „da”, 3 raspunsuri „nu” si un raspuns „nu stiu”, va fi P\left ( A_{10}^{6,3,1} \right )=\frac{C_{45}^{6}\cdot C_{35}^{3}\cdot C_{20}^{1}}{C_{100}^{10}}\cong 0,061 .

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

Clickshop.ro

Schema lui Bernoulli (a bilei intoarse)

Ne ocupam mai intai de schema lui Bernoulli cu doua stari (binomiala).

Consideram o urna care contine bile de doua culori c1 si c2 , astfel incat:

  • probabilitatea extragerii unei bile de culoarea c1  este p1 ;
  • probabilitatea extragerii unei bile de culoarea c2  este p2 .

Extragem din urna succesiv n  bile, cu intoarcere dupa fiecare extragere , si notam cu A_{k_{1}+k_{2}}^{k_{1},k_{2}} evenimentul ca din cele n bile extrase k1  bile sa aiba culoarea c1  si k bile sa aiba culoarea c2  ( p1+p2=1, k1+k2=n ). Atunci probabilitatea evenimentului A_{k_{1}+k_{2}}^{k_{1},k_{2}} este data de formula:

P\left (A_{k_{1}+k_{2}}^{k_{1},k_{2}} \right ) = \frac{(k_{1}+k_{2})!}{k_{1}!\cdot k_{2}!}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}

Intr-adevar notand cu A i1  evenimentul ca la extragerea „i ”  bila extrasa sa fie de culoare c1 , cu A i2  evenimentul ca la extragerea „i ” bila extrasa sa fie de culoare c2 , i∈{ 1,2,…,n }, atunci evenimentul A_{k_{1}+k_{2}}^{k_{1},k_{2}} este reuniunea a \frac{(k_{1}+k_{2})!}{k_{1}!\cdot k_{2}!} evenimente incompatibile doua cate doua de forma B_{1}\cap B_{2}\cap .....\cap {B_{n}}, unde Bi  este egal cu A i1  de k1  ori si Bi   este egal cu A i2  de k2  ori.

Avem P\left (B_{1}\cap B_{2}\cap .....\cap {B_{n}} \right )=p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}   (evenimentele B1,B2,….Bn  sunt independente doua cate doua ) si mai departe P\left (A_{k_{1}+k_{2}}^{k_{1},k_{2}} \right ) = \frac{(k_{1}+k_{2})!}{k_{1}!\cdot k_{2}!}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}  .

Schema binomiala se poate generaliza la schema lui Bernoulli cu mai multe stari (multinomiala).

Consideram o urna care contine bile avand culorile  c1 , c2 ,…..cr , astfel incat:

  • probabilitatea extragerii unei bile de culoarea c1 este p1 ;
  • probabilitatea extragerii unei bile de culoarea c2 este p2 ;
  • ………………………………………………………………………
  • probabilitatea extragerii unei bile de culoarea cr  este pr .

Extragem din urna succesiv n bile, cu intoarcere dupa fiecare extragere , si notam cu A_{k_{1}+k_{2}+....+{k_{r}}}^{k_{1},k_{2},....,k_{r}} evenimentul ca din cele n  bile extrase k1  bile sa aiba culoarea c1 , k bile sa aiba culoarea c2 ,…..,kr  bile sa aiba culoarea cr   ( p1+p2+…..+pr = 1, k1+k2+……+kr = n ). Atunci probabilitatea evenimentului A_{k_{1}+k_{2}+....+{k_{r}}}^{k_{1},k_{2},....,k_{r}} este data de formula:

P\left (A_{k_{1}+k_{2}+....+{k_{r}}}^{k_{1},k_{2},....,k_{r}} \right )= \frac{(k_{1}+k_{2}+....+k_{r})!}{k_{1}!\cdot k_{2}!....\cdot k_{r}!}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\cdot ....\cdot p_{r}^{k_{r}}

Incheiem cu observatia ca probabilitatea evenimentului A_{k_{1}+k_{2}+....+{k_{r}}}^{k_{1},k_{2},....,k_{r}} este coeficientul lui x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdot .....\cdot x_{r}^{k_{r}}  din dezvoltarea \left ( x_{1}+x_{2}+ ....+x_{r}\right )^{n} .

Exemplu:

Daca se arunca un zar de 10 atunci probabilitatea sa apara de 5 ori una din fetele 2,4,6 de 3 ori una din fele 1,3 si de 2 ori fata 5 va fi P\left ( A_{10}^{5,3,2} \right )=\frac{10!}{5!\cdot 3!\cdot 2!}\cdot \left ( \frac{3}{6} \right )^{5}\cdot \left ( \frac{2}{6} \right )^{3}\cdot \left ( \frac{1}{6} \right )^{2}\cong 0,297 .

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

techstar.ro