Schema lui Poisson (binomiala generalizata)

Ne ocupam mai intai de schema lui Poisson cu doua culori.

Consideram n urne U₁, U₂,…..,U_n contin fiecare bile de doua culori c₁ si c₂, astfel incat:

probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c₁ , c₂ din urna U₁ sunt p₁ respectiv q₁=1-p₁;
probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c₁ , c₂ din urna U₂ sunt p₂ respectiv q₂=1-p₂;
……………………………………………………………………………………………………………..
probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c₁ , c₂ din urna U_n sunt p_n respectiv q_n=1-p_n.

Din fiecare urna extragem cate o bila si notam cu $A_{i+j}^{i,j}$ evenimentul extragerii a i bile de culoare c₁ si a j bile de culoare c₂ ( i+j = n ). Atunci probabilitatea evenimentului $A_{i+j}^{i,j}$ este coeficientul lui xⁱ · y^j din dezvoltarea:

$\left ( p_{1}x+q_{1}y \right )\left ( p_{2}x+q_{2}y \right ).....\left ( p_{n}x+q_{n}y \right )$ .

Intr-adevar notand cu A_m , B_m evenimentele extragerii unei bile de culoare c₁, respectiv de culoare c₂, din urna U_m , m∈{ 1,2,….,n }, atunci evenimentul $A_{i+j}^{i,j}$ se scrie ca o reuniune de evenimente incompatibile doua cate doua astfel:

$A_{i+j}^{i,j}=\bigcup_{1\leq r_{1}<....r_{i}\leq n;1\leq s_{1}<....\leq s_{j}\leq n;\left \{ r_{1} ,....,r_{i}\right \}\cup \left \{ s_{1},....,s_{j} \right \}=\left \{ 1,2,....,n \right \}}^{ }\left [ \left ( A_{r_{1}} \cap ....\cap A_{r_{i}} \right )\cap \left ( B_{s_{1}} \cap ....\cap B_{s_{j}} \right ) \right ]$ .

Tinand cont si de faptul ca evenimentele A_m si B_m , m∈{ 1,2,….,n } sunt independente obtinem:

$P\left (A_{i+j}^{i,j} \right )=$

$\sum_{1\leq r_{1}<....r_{i}\leq n;1\leq s_{1}<....\leq s_{j}\leq n;\left \{ r_{1} ,....,r_{i}\right \}\cup \left \{ s_{1},....,s_{j} \right \}=\left \{ 1,2,....,n \right \}}^{ }P\left [ \left ( A_{r_{1}} \cap ....\cap A_{r_{i}} \right )\cap \left ( B_{s_{1}} \cap ....\cap B_{s_{j}} \right ) \right ]=$

$\sum_{1\leq r_{1}<....r_{i}\leq n;1\leq s_{1}<....\leq s_{j}\leq n;\left \{ r_{1} ,....,r_{i}\right \}\cup \left \{ s_{1},....,s_{j} \right \}=\left \{ 1,2,....,n \right \}}^{ }p_{r_{1}}\cdot ...p_{r_{i}}\cdot q_{s_{1}}\cdot ...\cdot q_{s_{j}}$ ,

de unde rezulta concluzia.

Schema lui Poisson cu doua culori se poate generaliza la schema lui Poisson cu mai multe culori, de exemplu pentru trei culori:

Consideram n urne U₁, U₂,…..,U_n contin fiecare bile de trei culori c₁ , c₂ si c₃ , astfel incat:

probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c₁ , c₂ , c₃ din urna U₁ sunt p₁ , q₁ , respectiv r₁ = 1-p₁–q₁ ;
probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c₁ , c₂ , c₃ din urna U₂ sunt p₂ , q₂ , respectiv r₂ = 1-p₂–q₂ ;
……………………………………………………………………………………………………………..
probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c₁ , c₂ , c₃ din urna U_n sunt p_n , q_n , respectiv r_n = 1-p_n–q_n .

Din fiecare urna extragem cate o bila si notam cu $A_{i+j+k}^{i,j,k}$ evenimentul extragerii a i bile de culoare c₁ , a j bile de culoare c₂ si a k bile de culoare c₂ ( i+j+k = n ). Atunci probabilitatea evenimentului $A_{i+j+k}^{i,j,k}$ este coeficientul lui xⁱ · y^j · z^k din dezvoltarea:

$\left ( p_{1}x+q_{1}y+r_{1}z \right )\left ( p_{2}x+q_{2}y+r_{2}z \right ).....\left ( p_{n}x+q_{n}y+r_{n}z \right )$ .

Exemplu:

Situatiea limbii materne a locuitorilor a trei orase A, B, C se prezinta astfel:

In orasul A , 45% dintre locuitori au limba materna engleza, 35% franceza si restul o alta limba;
In orasul B, 35% dintre locuitori au limba materna engleza, 50% franceza si restul o alta limba;
In orasul C, 55% dintre locuitori au limba materna engleza, 40% franceza si restul o alta limba .

Daca se alge la intamplare cate un locuitor din fiecare oras, atunci, folosind schema lui Poisson cu trei culori, probabilitatea ca cele trei persone sa aiba limbi materne diferite este coeficientul lui x ·y ·z din dezvoltarea

(0,45x+0,35y+0,20z)(0,35x+0,50y+0,15z)(0,55x+0,40y+0,05z) , adica

p=0,45·0,50·0,05+0,45·0,15·0,40+0,35·0,35·0,05+

0,35·0,15·0,55+0,20·0,35·0,40+0,20·0,50·0,55=0,15625≅0,16 .

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

CA-Math

Schema lui Poisson (binomiala generalizata)

Lasă un comentariu Anulează răspunsul

Partajează asta:

Lasă un comentariu Anulează răspunsul