Matrici partitionate de ordinul doi

In continuare vom stabili o formula de calcul a determinantului unei matrice partitionate de ordinul doi cand una din submatricile patratice componente este nesingulara .

Vom considera, pentru inceput, urmatoarea lema:

Lema.

Daca A=\left ( a_{ij} \right )_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n},B=\left ( b_{ij} \right )_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq p}, iar C=A\cdot B=\left ( c_{ij} \right )_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq p}, atunci:

  1. Coloanele matricei produs C  sunt combinatii liniare ale coloanelor matricei A;
  2. Liniile matricei produs C  sunt combinatii liniare ale liniilor matricei B.

Demonstratie.
1. Pentru orice j\in \left \{ 1,2,....,p \right \}  avem:

\begin{pmatrix} c_{1j}\\ c_{2j}\\ .....\\ c_{mj}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sum_{k=1}^{n}a_{1k} b_{kj}\\ \sum_{k=1}^{n}a_{2k} b_{kj}\\ ....\\ \sum_{k=1}^{n}a_{mk} b_{kj}\end{pmatrix}=\sum_{k=1}^{n}\begin{pmatrix} a_{1k}b_{kj}\\ a_{2k}b_{kj}\\ .....\\ a_{mk}b_{kj}\end{pmatrix}=\sum_{k=1}^{n}b_{kj}\begin{pmatrix} a_{1k}\\ a_{2k}\\ ....\\ a_{mk}\end{pmatrix} ,

deci coloanele matricei C  sunt combinatii liniare ale coloanelor matricei A.

2. Pentru orice i\in \left \{ 1,2,....,m \right \}  avem:

\begin{pmatrix} c_{i1} &c_{i2} &.... &c_{ip} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{k1} &\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{k2} &..... &\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kp} \end{pmatrix}=

=\sum_{k=1}^{n}\begin{pmatrix} a_{ik}b_{k1} &a_{ik}b_{k2} &..... &a_{ik}b_{kp} \end{pmatrix}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\begin{pmatrix} b_{k1} &b_{k2} &.... &b_{kp} \end{pmatrix} ,

deci liniile matricei C  sunt combinatii liniare ale liniilor matricei B.

Teorema.

Fie matricea bloc X=\begin{pmatrix}A &B \\ C &D \end{pmatrix}, unde A\in M_{p}\left ( \mathbb{C} \right ),B\in M_{p,q}\left ( \mathbb{C} \right ),C\in M_{q,p}\left ( \mathbb{C} \right ),D\in M_{q}\left ( \mathbb{C} \right ) .
  1. Daca A  este nesingulara, atunci det(X)=det(A)\cdot det\left ( D-CA^{-1}B \right );
  2. Daca este nesingulara, atunci det(X)=det(D)\cdot det\left ( A-BD^{-1}C \right ) .

Demonstratie.

1.Adaugand la ultimele q  coloane combinatii liniare de primele p colane (tinand cont de lema) si dezvoltand in final dupa primele p  linii, folosind regula lui Laplace obtinem:

det\left ( X \right )=\begin{vmatrix} A &B \\ C &D \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A &B-A\left ( A^{-1}B \right ) \\ C &D-C\left ( A^{-1}B \right ) \end{vmatrix}=

=\begin{vmatrix} A &O_{p,q} \\ C &D-CA^{-1}B \end{vmatrix}=det\left ( A \right )\cdot det\left ( D-CA^{-1}B \right ) .

2.Adaugand la primele p  coloane combinatii liniare de ultimele q  colane (tinand cont de lema) si dezvoltand in final dupa primele linii, folosind regula lui Laplace obtinem:

det\left ( X \right )=\begin{vmatrix} A &B \\ C &D \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A-\left (B D^{-1} \right )C &B-\left ( BD^{-1} \right )D \\ C &D \end{vmatrix}=

=\begin{vmatrix} A- BD^{-1}C &O_{p,q} \\ C &D \end{vmatrix}=det\left ( D \right ) \cdot det\left ( A-BD^{-1}C \right ) .

Aplicatie.

Daca a, b, c, d  sunt numere reale, sa se demonstreze egalitatea:

\begin{vmatrix} a &b &c &d \\ -b &a &-d &c \\ -c &d &a &-b \\ -d &-c &b &a \end{vmatrix}=\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )^{2} .

Solutie.

Vom considera cazul a^{2}+b^{2}\neq 0 (daca a = b = 0 egalitatea se obtine folosind regula lui Laplace ). Facand notatiile A=\begin{pmatrix} a &b \\ -b &a \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} c &d \\-d &c \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} -c &d \\ -d &-c \end{pmatrix},D=\begin{pmatrix} a &-b \\ b &a \end{pmatrix} si folosind teorema de mai sus obtinem:
\begin{vmatrix} a &b &c &d \\ -b &a &-d &c \\ -c &d &a &-b \\ -d &-c &b &a \end{vmatrix}=det\left ( A \right )\cdot det\left ( D-CA^{-1}B \right )=
det\left [ \begin{pmatrix} a &b \\ -b &a\ \end{pmatrix} \right ]\cdot det\left [ \begin{pmatrix} a &-b \\ b &a \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -c &d \\ -d &-c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a &b \\- b &a \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} c &d \\ -d &c \end{pmatrix}\right ]=
\left ( a^{2}+b^{2} \right )\cdot det\left [ \begin{pmatrix} a &-b \\ b &a \end{pmatrix}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}} \begin{pmatrix} -c &d \\ -d &-c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a &-b \\ b &a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c &d \\ -d &c \end{pmatrix}\right ]=
\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\cdot det\left [ \begin{pmatrix} a\left ( a^{2}+b^{2} \right ) &-b\left ( a^{2}+b^{2} \right ) \\ b\left ( a^{2}+b^{2} \right ) &a\left ( a^{2}+b^{2} \right ) \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} bd-ac &ad+bc \\ -ad-bc &bd-ac \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c &d \\ -d &c \end{pmatrix}\right ]=
\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\begin{vmatrix} a\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ) &-b\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ) \\ b\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ) &a\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ) \end{vmatrix}=\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )^{2} .
Academia de matematica aici:http://robeauty.ro
PC%20Shop
Reclame

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare /  Schimbă )

Fotografie Google

Comentezi folosind contul tău Google. Dezautentificare /  Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare /  Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare /  Schimbă )

Conectare la %s