Clase de polinome

Consideram cunoscut faptul ca multimea numerelor intregi si multimea polinoamelor cu coeficienti intr-un corp comutativ au o structura algebrica de inel comutativ. Asadar vom considera \left (\mathbb{K},+,\cdot \right ) un corp comutativ si inelele comutative \left ( \mathbb{Z},+,\cdot \right ),\left ( \mathbb{K}[X],+,\cdot \right ).  In continuare vom considera un numar natural n\geqslant 2, un polinom \pi\in \mathbb{K}[X],\: grad(\pi)=n si vom face mai multe analogii:
  1. Folosim notatiile:
    • \textit{R}=\left \{ 0,1,....,n-1 \right \} multimea resturilor care pot aparea prin impartirea unui numar intreg la numarul n ;
    • prin analogie, \textit{R}^{'}=\left \{ r\in \mathbb{K}[X]|grad(r)\leq n-1 \right \}, multimea resturilor care pot aparea prin impartirea unui polinom din \left (\mathbb{K},+,\cdot \right ) la polinomul \pi de gradul  n ;
  2. Pentru r\in \mathit{R}, respectiv r^{'}\in \mathit{R}^{'},  folosim notatiile:
    • \hat{r}=\left \{ nk+r|k\in \mathbb{Z} \right \} multimea numerelor intregi care impartite la n  dau restul r\in \mathit{R};
    • prin analogie, \hat{r^{'}}=\left \{ \pi\cdot f+r^{'}|f\in \mathbb{K}[X] \right \}, multimea polinomelor din \left (\mathbb{K},+,\cdot \right ) care prin impartire la polinomul \pi dau restul \hat{r^{'}}\in \mathit{R^{'}}.
  3. Consideram multimile:
    • \mathbb{Z}/(n)=\left \{ \hat{0},\hat{1},.....,\widehat{n-1}\right \}=\mathbb{Z}_{n} multimea claselor de resturi modulo n ;
    • prin analogie \mathbb{K}[X]/(\pi)=\left \{ \hat{r^{'}}|r^{'}\in \mathit{R^{'}} \right \} multimea claselor de polinoame modulo \pi;
  4. Alegerea reprezentantilor:
    • daca \hat{r}\in \mathbb{Z}/(n) si a\in \hat{r}, notam \hat{a}=\hat{r} si spunem ca a  este un reprezentant al clasei \hat{r};
    • prin analogie, daca \hat{r^{'}}\in \mathit{R^{'}} si f\in \mathbb{K}[X]/(\pi), notam \hat{f}=\hat{r^{'}} si spunem ca f  este un reprezentant al clasei \hat{r^{'}}.
  5. Introducerea operatiilor:
    • pe multimea \mathbb{Z}/(n) se introduc operatiile de adunare si inmultire modulo n astfel: \hat{a}\oplus \hat{b}=\widehat{a+b},\: \hat{a}\otimes \hat{b}=\widehat{ab}. Se demonstreaza ca cele doua operatii sunt corect definite (nu depind de alegerea reprezentantilor) si determina pe multimea \mathbb{Z}/(n) o structura de inel comutativ ;
    • prin analogie, pe multimea \mathbb{K}[X]/(\pi) se introduc operatiile de adunare si inmultire modulo f astfel: \hat{f}\oplus \hat{g}=\widehat{f+g},\, \: \hat{f}\otimes \hat{g}=\widehat{fg}.Se demonstreaza ca cele doua operatii sunt corect definite (nu depind de alegerea reprezentantilor) si determina pe multimea \mathbb{K}[X]/(\pi) o structura de inel comutativ .
  6. Unitatile inelelor:
    • se demonstreaza ca \hat{a}\in \mathbb{Z}/(n) este unitate a inelului \left ( \mathbb{Z}/(n),\oplus ,\otimes \right ) daca si numai daca a este prim cu n;
    • prin analogie, se demonstreaza ca \hat{f}\in \mathbb{K}[X]/(\pi) este unitate a inelului \left ( \mathbb{K}[X]/(\pi),\oplus ,\otimes \right ) daca si numai daca polinoamele f si \pi sunt relativ prime.
  7. Extinderea corpului \left ( \mathbb{K},+,\cdot \right ) :
    • se demonstreaza ca inelul \left ( \mathbb{K}[X]/(\pi),\oplus ,\otimes \right ) devine corp daca si numai daca polinomul \pi\in \mathbb{K}[X] este ireductibil peste \mathbb{K};
    • in cazul in care polinomul \pi\in \mathbb{K}[X] este ireductibil peste \mathbb{K}, corpul \left ( \mathbb{K}[X]/(\pi),\oplus ,\otimes \right ) poate fi privit ca o extindere a corpului \left ( \mathbb{K},+,\cdot \right ), iar polinomul \pi (ireductibil peste \mathbb{K}) este reductibil peste \mathbb{K}[X]/(\pi), avand in corpul \left ( \mathbb{K}[X]/(\pi),\oplus ,\otimes \right ) radacina \widehat{X}.

Exemplu:

Daca \left ( \mathbb{K},+,\cdot \right )=\left ( \mathbb{R},+,\cdot \right ) si \pi=X^{2}+1, atunci corpul \left ( \mathbb{K}[X]/(\pi),\oplus ,\otimes \right ) devine izomorf cu corpul numerelor complexe.

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

 

telecredit.ro
Reclame

Corpuri finite

In continuare vom considera \left ( \mathbb{K} ,+,\cdot \right ) un corp si vom presupune cunoscute urmatoarele notiuni si proprietati:

  • caracteristica corpului (notata cu char\left ( \mathbb{K} \right )) este cel mai mic numar natural nenul k  cu proprietatea   \underset{k\: ori}{\underbrace{1+1+....+1}}=0, in cazul in care exista un asemenea numar, si vom spune ca caracteristica corpului este 0 in caz contrar;
  • daca caracteristica unui corp este nenula, atunci caracteristica corpului este un numar prim;
  • cel mai mic subcorp propriu al corpului \left ( \mathbb{K} ,+,\cdot \right ) (fata de relatia de incluziune) se numeste subcorpul prim al corpului \left ( \mathbb{K} ,+,\cdot \right ) si il vom nota cu P_{1} ;
  • orice corp finit este un corp abelian (teorema lui Wedderburn) si caracteristica sa este un numar prim ;
  • daca char\left ( \mathbb{K} \right )=0, atunci subcorpul prim al lui \mathbb{K} este infinit, P_{1}=\left \{ 0,1,1+1,1+1+1,.... \right \} si este izomorf cu corpul \left ( \mathbb{Q},+,\cdot \right );
  • daca char\left ( \mathbb{K} \right )=p\neq 0, atunci subcorpul prim al lui \mathbb{K} este finit,  P_{1}=\left \{ 0,1,1+1,....,\underset{\underbrace{p-1\: ori}}{1+1+....+1} \right \} si este izomorf cu corpul \left ( \mathbb{Z}_{p},+,\cdot \right )

Vom demonstra doua teoreme legate de corpurile finite.

Teorema 1.

Daca \left ( \mathbb{K} ,+,\cdot \right ) este un corp finit, atunci exista numerele naturale nenule p , astfel incat p  este numar prim si card\left ( \mathbb{K} \right )=p^{n}.
 Demonstratie.
  • Fie p caracteristica corpului si P_{1}=\left \{ 0,1,1+1,....,\underset{\underbrace{p-1\: ori}}{1+1+....+1} \right \} subcorpul prim al lui \mathbb{K};
  • Daca P_{1}=\mathbb{K}, atunci card\left ( \mathbb{K} \right )=card\left ( P_{1} \right )=p, altfel alegem \omega _{2}\in \mathbb{K}-P_{1} si consideram multimea P_{2}=\left \{ a+b\cdot \omega _{2}|a,b\in P_{1} \right \};
  • Daca P_{2}=\mathbb{K}, atunci card\left ( \mathbb{K} \right )=card\left ( P_{2} \right )=p \cdot p=p^{2}, altfel alegem \omega _{3}\in \mathbb{K}-P_{2} si consideram multimea P_{3}=\left \{ a+b\cdot \omega _{3}|a,b\in P_{2} \right \};
  • Daca P_{3}=\mathbb{K}, atunci card\left ( \mathbb{K} \right )=card\left ( P_{3} \right )=p^{2} \cdot p=p^{3}, altfel alegem \omega _{3}\in \mathbb{K}-P_{3} si consideram multimea P_{4}=\left \{ a+b\cdot \omega _{4}|a,b\in P_{3} \right \};
  • ……………………………………………………………………………………………………………
Continuand rationamentul, cum \mathbb{K} este multime finita, va exista numarul natural n astfel incat P_{n}=\mathbb{K}, deci card\left ( \mathbb{K} \right )=card\left ( P_{n} \right )=p^{n-1} \cdot p=p^{n}.
Teorema 2.
(Teorema elementului primitiv ).Daca \left ( \mathbb{K} ,+,\cdot \right ) este un corp finit, atunci grupul \left ( \mathbb{K^{*},\cdot } \right ) este grup ciclic.
Demonstratie.
  • Consideram card\left ( \mathbb{K}^{*} \right )=h=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot .....\cdot p_{r}^{\alpha _{r}} , p_{i} numar prim, f_{i}=X^{\frac{h}{p_{i}}}-1\in \mathbb{K}\left [ X \right ], i=\overline{1,r};
  • Deoarece un polinom din \mathbb{K}\left [ X \right ] nu poate avea mai multe radacini in \mathbb{K} decat gradul sau, pentru fiecare i\in \left \{ 1,2,...,r \right \} exista a_{i}\in \mathbb{K} astfel incat f_{i}\left ( a_{i} \right )\neq 0;
  • \textrm{Pentru} \; b_{i}=a_{i}^{\frac{h}{p_{i}^{\alpha _{i}}}}\; \textrm{avem}\; b_{i}^{p_{i}^{\alpha _{i}}}=a_{i}^{h}=1\: \; \textrm{si\; }\; b_{i}^{p_{i}^{\alpha _{i}-1}}=a_{i}^{\frac{h}{p_{i}}}\neq 1\: \textrm{, de unde rezulta ca ordinul elementului} b_{i} in grupul \left ( \mathbb{K}^{*},\cdot \right ) este egal cu p_{i}^{\alpha _{i}}, pentru fiecare i\in \left \{ 1,2,....,r \right \};
  • Pentru b=b_{1}b_{2}....b_{r} avem b^{h}=b_{1}^{h}b_{2}^{h}....b_{r}^{h}=1, deci ordinul elementului b in grupul \left ( \mathbb{K}^{*},\cdot \right ) este un divizor al lui  h.
  • Daca prin absurd ord\left ( b \right )=d<h, atunci d  este un divizor propriu al lui h , deci d=p_{1}^{\beta _{1}}p_{2}^{\beta _{2}}....p_{r}^{\beta {_{r}}} cu \beta _{1}<\alpha _{1},\beta _{2}\leq \alpha _{2},....,\beta _{r}\leq \alpha _{r} (dupa o eventuala renumerotare a indicilor).
  • In cazul de mai sus d|p_{1}^{\alpha _{1}-1}p_{2}^{\alpha _{2}}....p_{r}^{\alpha _{r}} si cum b^{d}=1, se obtine

b^{p_{1}^{\alpha _{1}-1}\cdot p_{2}^{\alpha {_{2}}}\cdot .....\cdot p_{r}^{\alpha {_{r}}}}=1\Leftrightarrow \left ( b_{1} \cdot b_{2}\cdot .....\cdot b_{r}\right )^{p_{1}^{\alpha _{1}-1}\cdot p_{2}^{\alpha {_{2}}}\cdot .....\cdot p_{r}^{\alpha {_{r}}}}=1\Leftrightarrow b_{1}^{p_{1}^{\alpha _{1}-1}}=1

in contradictie cu faptul ca ord\left ( b_{1} \right )=p_{1}^{\alpha _{1}}.
In concluzie ord(b)=h si grupul \left ( \mathbb{K^{*},\cdot } \right ) este ciclic ( b  este un generator sau element primitiv  al grupului).
Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

 

sentimente.ro%20