Clase de polinome

Consideram cunoscut faptul ca multimea numerelor intregi si multimea polinoamelor cu coeficienti intr-un corp comutativ au o structura algebrica de inel comutativ. Asadar vom considera \left (\mathbb{K},+,\cdot \right ) un corp comutativ si inelele comutative \left ( \mathbb{Z},+,\cdot \right ),\left ( \mathbb{K}[X],+,\cdot \right ).  In continuare vom considera un numar natural n\geqslant 2, un polinom \pi\in \mathbb{K}[X],\: grad(\pi)=n si vom face mai multe analogii:
  1. Folosim notatiile:
    • \textit{R}=\left \{ 0,1,....,n-1 \right \} multimea resturilor care pot aparea prin impartirea unui numar intreg la numarul n ;
    • prin analogie, \textit{R}^{'}=\left \{ r\in \mathbb{K}[X]|grad(r)\leq n-1 \right \}, multimea resturilor care pot aparea prin impartirea unui polinom din \left (\mathbb{K},+,\cdot \right ) la polinomul \pi de gradul  n ;
  2. Pentru r\in \mathit{R}, respectiv r^{'}\in \mathit{R}^{'},  folosim notatiile:
    • \hat{r}=\left \{ nk+r|k\in \mathbb{Z} \right \} multimea numerelor intregi care impartite la n  dau restul r\in \mathit{R};
    • prin analogie, \hat{r^{'}}=\left \{ \pi\cdot f+r^{'}|f\in \mathbb{K}[X] \right \}, multimea polinomelor din \left (\mathbb{K},+,\cdot \right ) care prin impartire la polinomul \pi dau restul \hat{r^{'}}\in \mathit{R^{'}}.
  3. Consideram multimile:
    • \mathbb{Z}/(n)=\left \{ \hat{0},\hat{1},.....,\widehat{n-1}\right \}=\mathbb{Z}_{n} multimea claselor de resturi modulo n ;
    • prin analogie \mathbb{K}[X]/(\pi)=\left \{ \hat{r^{'}}|r^{'}\in \mathit{R^{'}} \right \} multimea claselor de polinoame modulo \pi;
  4. Alegerea reprezentantilor:
    • daca \hat{r}\in \mathbb{Z}/(n) si a\in \hat{r}, notam \hat{a}=\hat{r} si spunem ca a  este un reprezentant al clasei \hat{r};
    • prin analogie, daca \hat{r^{'}}\in \mathit{R^{'}} si f\in \mathbb{K}[X]/(\pi), notam \hat{f}=\hat{r^{'}} si spunem ca f  este un reprezentant al clasei \hat{r^{'}}.
  5. Introducerea operatiilor:
    • pe multimea \mathbb{Z}/(n) se introduc operatiile de adunare si inmultire modulo n astfel: \hat{a}\oplus \hat{b}=\widehat{a+b},\: \hat{a}\otimes \hat{b}=\widehat{ab}. Se demonstreaza ca cele doua operatii sunt corect definite (nu depind de alegerea reprezentantilor) si determina pe multimea \mathbb{Z}/(n) o structura de inel comutativ ;
    • prin analogie, pe multimea \mathbb{K}[X]/(\pi) se introduc operatiile de adunare si inmultire modulo f astfel: \hat{f}\oplus \hat{g}=\widehat{f+g},\, \: \hat{f}\otimes \hat{g}=\widehat{fg}.Se demonstreaza ca cele doua operatii sunt corect definite (nu depind de alegerea reprezentantilor) si determina pe multimea \mathbb{K}[X]/(\pi) o structura de inel comutativ .
  6. Unitatile inelelor:
    • se demonstreaza ca \hat{a}\in \mathbb{Z}/(n) este unitate a inelului \left ( \mathbb{Z}/(n),\oplus ,\otimes \right ) daca si numai daca a este prim cu n;
    • prin analogie, se demonstreaza ca \hat{f}\in \mathbb{K}[X]/(\pi) este unitate a inelului \left ( \mathbb{K}[X]/(\pi),\oplus ,\otimes \right ) daca si numai daca polinoamele f si \pi sunt relativ prime.
  7. Extinderea corpului \left ( \mathbb{K},+,\cdot \right ) :
    • se demonstreaza ca inelul \left ( \mathbb{K}[X]/(\pi),\oplus ,\otimes \right ) devine corp daca si numai daca polinomul \pi\in \mathbb{K}[X] este ireductibil peste \mathbb{K};
    • in cazul in care polinomul \pi\in \mathbb{K}[X] este ireductibil peste \mathbb{K}, corpul \left ( \mathbb{K}[X]/(\pi),\oplus ,\otimes \right ) poate fi privit ca o extindere a corpului \left ( \mathbb{K},+,\cdot \right ), iar polinomul \pi (ireductibil peste \mathbb{K}) este reductibil peste \mathbb{K}[X]/(\pi), avand in corpul \left ( \mathbb{K}[X]/(\pi),\oplus ,\otimes \right ) radacina \widehat{X}.

Exemplu:

Daca \left ( \mathbb{K},+,\cdot \right )=\left ( \mathbb{R},+,\cdot \right ) si \pi=X^{2}+1, atunci corpul \left ( \mathbb{K}[X]/(\pi),\oplus ,\otimes \right ) devine izomorf cu corpul numerelor complexe.

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

 

telecredit.ro
Reclame

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare /  Schimbă )

Fotografie Google

Comentezi folosind contul tău Google. Dezautentificare /  Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare /  Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare /  Schimbă )

Conectare la %s