Polinoame ciclotomice

Pentru n\in \mathbb{N}^{*}  vom considera numarul complex  \zeta =cos\frac{2\pi }{n}+isin\frac{2\pi }{n}  si vom nota cu  U_{n}=\left \{ x\in \mathbb{C}|x^{n}=1 \right \}=\left \{ \zeta ^{k}|k=\overline{0,n-1} \right \} (multimea radacinilor de ordinul n ale unitatii ). Vom presupune cunoscute urmatoarele proprietati:

  • \left ( U_{n},\cdot \right )  este un subgrup ciclic  al grupului abelian \left ( \mathbb{C}^{*},\cdot \right ) ;
  • orice generator al grupului ciclic \left ( U_{n},\cdot \right ) se numeste radacina primitiva de ordinul n a unitatii. Vom nota multimea radacinilor primitive de ordinul ale unitatii cu P_{n} ;
  • \zeta =cos\frac{2\pi }{n}+isin\frac{2\pi }{n}  este una dintre radacile primitive de ordinul n  ale unitatii, iar  multimea acestora este P_{n}=\left \{ \zeta ^{k}|k\in \left \{1,...,n-1 \right \},\left ( k,n \right )=1 \right \} , iar pentru n  numar prim, P_{n}=\left \{ \zeta ,\zeta ^{2},....,\zeta ^{n-1} \right \} ;
  • cardinalul multimii P_{n}  este  \varphi \left ( n \right )  ( indicatorul lui Euler ), iar pentru n  numar prim, cardinalul multimii P_{n} este \varphi \left ( n \right )=n-1 ;
  • daca \varepsilon \in P_{n} , atunci P_{n}=\left \{ \varepsilon ,\varepsilon ^{2},....,\varepsilon ^{\varphi \left ( n \right )} \right \}=\left \{ \zeta ,\zeta ^{2},....,\zeta ^{\varphi \left ( n \right )} \right \} ;

Definitie. Pentru n\in \mathbb{N}^{*} , polinomul \Phi _{n}\left ( X \right )=\prod_{\zeta \in P_{n}}^{}\left ( X-\zeta \right )  se numeste al n – lea polinom ciclotomic.

Pentru a stabili anumite proprietati ale polinoamelor ciclotomice, demonstram mai intai urmatoarea lema:

Lema. Familia de multimi \left ( P_{d} \right ) , unde d  parcurge multimea divizorilor naturali ai lui n , este o partitie a multimii U_{n} , adica:

  1. \bigcup_{d\in \mathbb{N}^{*},d|n}^{}P_{d}=U_{n} ;
  2. d_{1},d_{2}\in \mathbb{N}^{*},d_{1}|n,d_{2}|n\, \; si\: d_{1}\neq d_{2}\Rightarrow P_{d_{1}}\bigcap P_{d_{2}}=\O ;

Demonstratie.

  1. Avem x\in P_{d}\Rightarrow x\in U_{d}\Rightarrow x^{d}=1\overset{d|n }{\Rightarrow}x^{n}= \left ( x^{d} \right )^{\frac{n}{d}}=1 \Rightarrow x\in U_{n} , deci  \bigcup_{d\in \mathbb{N}^{*},d|n}^{}P_{d}\subset U_{n} . Pentru a demonstra incluziunea inversa fie x=cos\frac{2k\pi }{n}+isin\frac{2k\pi }{n}\in U_{n}  si  \left ( k,n \right )=d,k=d\cdot k^{'} , n=d\cdot n^{'} . Atunci x=cos\frac{2k^{'}\pi}{n^{'}}+isin\frac{2k^{'}\pi}{n^{'}}  si cum \left ( k^{'},n^{'} \right )=1 , avem x\in P_{n^{'}} , deci este adevarata si incluziunea inversa U_{n}\subset \bigcup_{n^{'}\in \mathbb{N}^{*},n^{'}|n}P_{n^{'}} .
  2. Fie prin reducere la absurd x=cos\frac{2k_{1}\pi}{d_{1}}+isin\frac{2k_{1}\pi}{d_{1}}=cos\frac{2k_{2}\pi}{d_{2}}+isin\frac{2k_{2}\pi}{d_{2}}\in P_{d_{1}}\bigcap P_{d_{2}} , unde \left ( k_{1},d_{1} \right )=1\, \: si\: \left ( k_{2},d_{2} \right )=1   (1) . Rezulta \frac{2k_{1}\pi }{d_{1}}-\frac{2k_{2}\pi }{d_{2}}=2p\pi ,p\in \mathbb{N}\Leftrightarrow k_{1}d_{2}-k_{2}d_{1}=pd_{1}d_{2} si tinand cont de (1) obtinem d_{1}|d_{2}\: si\: d_{2}|d_{1} , deci d_{1}=d_{2}  –  contradictie .

Teorema. ( Dedekind ) Pentru n\in \mathbb{N}^{*}  are loc egalitatea X^{n}-1=\prod_{d\in \mathbb{N}^{*},d|n}^{}\Phi _{d}\left ( X \right ) .

Demonstratie.

Tinand cont de lema  de mai sus obtinem:

X^{n}-1=\prod_{\zeta \in U_{n}}\left ( X-\zeta \right )=\prod_{d\in \mathbb{N}^{*},d|n}\prod_{\zeta \in P_{d}}\left ( X-\zeta \right )=\prod_{d\in \mathbb{N}^{*},d|n}\Phi _{d}\left ( X \right ) .

Observatii:

  • egaland, in teorema de mai sus,  gradele polinoamelor din cei doi membrii se regaseste o egalitate interesanta din teoria numerelor, anume n=\sum_{d\in \mathbb{N}^{*},d|n}\varphi \left ( d \right ) ;
  • Teorema de mai sus permite determinarea pe cale recursiva a polinoamelor ciclotomice. Astfel avem:
    1. \Phi _{1}\left ( X \right )=\left ( X-1 \right ) ;
    2. X^{2}-1=\Phi _{1}\left ( X \right )\Phi _{2}\left ( X \right )\Rightarrow \Phi _{2}\left ( X \right )=X+1;
    3. X^{3}-1=\Phi _{1}\left ( X \right )\Phi _{3}\left ( X \right )\Rightarrow \Phi _{3}\left ( X \right )=X^{2}+X+1;
    4. X^{4}-1=\Phi _{1}\left ( X \right )\Phi _{2}\left ( X \right )\Phi _{4}\left ( X \right )\Rightarrow \Phi _{4}\left ( X \right )=X^{2}+1;
    5. X^{5}-1=\Phi _{1}\left ( X \right )\Phi _{5}\left ( X \right )\Rightarrow \Phi _{5}\left ( X \right )=X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1;
    6. X^{6}-1=\Phi _{1}\left ( X \right )\Phi _{2}\left ( X \right )\Phi _{3}\left ( X \right )\Phi _{6}\left ( X \right )\Rightarrow \Phi _{6}\left ( X \right )=X^{2}-X+1;
    7. X^{7}-1=\Phi _{1}\left ( X \right )\Phi _{7}\left ( X \right )\Rightarrow \Phi _{7}\left ( X \right )=X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1 ;
    8. X^{8}-1=\Phi _{1}\left ( X \right )\Phi _{2}\left ( X \right )\Phi _{4}\left ( X \right )\Phi _{8}\left ( X \right )\Rightarrow \Phi _{8}\left ( X \right )=X^{4}+1 ;
    9. X^{9}-1=\Phi _{1}\left ( X \right )\Phi _{3}\left ( X \right )\Phi _{9}\left ( X \right )\Rightarrow \Phi _{9}\left ( X \right )=X^{6}+X^{3}+1 ;
    10. X^{10}-1=\Phi _{1}\left ( X \right )\Phi _{2}\left ( X \right )\Phi _{5}\left ( X \right )\Phi _{10}\left ( X \right )\Rightarrow \Phi _{10}\left ( X \right )=X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1 ;
    11. X^{p}-1=\Phi _{1}\left ( X \right )\cdot \Phi _{p}\left ( X \right )\Rightarrow \Phi _{p}\left ( X \right )=X^{p-1}+X^{p-2}+....+X+1  pentru orice numar natural prim p ;

Corolar.Polinoamele ciclotomice sunt polinoame monice cu coeficienti intregi ( \Phi _{n}\in \mathbb{Z}\left [ X \right ]  pentru orice numar natural nenul n  ).

Se poate demonstra prin inductie . Intr-adevar avem \Phi _{1}\left ( X \right )\in \mathbb{Z}\left [ X \right ]  monic si  daca presupunem  \Phi _{k}\left ( X \right )\in \mathbb{Z}\left [ X \right ] si monice pentru orice 1 < k < n, cum X^{n}-1=\Phi _{n}\left ( X \right )\cdot \prod_{d\in \mathbb{N}^{*},d|n,d<n}\Phi _{d}\left ( X \right ) , rezulta ca si  \Phi _{n}\left ( X \right )  va fi un polinom monic cu coeficienti intregi.

Alte proprietati ale polinoamelor ciclotomice:

  1. \Phi _{n}\left ( X \right ) este ireductibil in inelul \mathbb{Z}\left [ X \right ] , pentru orice n\in \mathbb{N}^{*} ;
  2. \Phi _{n}\left ( X \right ) este un polinom reciproc pentru orice n\in \mathbb{N}^{*};
  3. \Phi _{2n}\left ( X \right )=\Phi _{n}\left ( -X \right ) pentru orice  n\in \mathbb{N},n>1 si n impar;
  4. \Phi _{n}\left ( X \right )=\Phi _{p_{1}\cdot ....\cdot p_{k}}\left ( X^{p_{1}^{r_{1}-1}\cdot ....\cdot p_{k}^{r_{k}-1}} \right ) , unde  n=p_{1}^{r_{1}}\cdot ....\cdot p_{k}^{r_{k}}  este descompunerea in factori primi a lui n .

Aplicatie. Sa se arate ca polinomul f=X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1\in \mathbb{Z}\left [ X \right ]  este ireductibil peste \mathbb{Z} .

Solutie. Conform teoremei de mai sus avem egalitatea:

X^{15}-1=\Phi _{1}\left ( X \right )\cdot \Phi _{3}\left ( X \right )\cdot \Phi _{5}\left ( X \right )\cdot \Phi _{15}\left ( X \right )\Leftrightarrow

X^{15}-1=\left ( X-1 \right )\left ( X^{2}+X+1 \right )\left ( X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1 \right )\Phi _{15}\left ( X \right )

de unde rezulta \Phi _{15}\left ( X \right )=f , deci f  este ireductibil peste \mathbb{Z} .

Academia de matematica aici:htpp://robeauty.ro

telecredit.ro

 

Cumparaturi online aici:https://www.banggood.com
Reclame