Teorema lui Lagrange

In continuare  vom considera cunoscute urmatoarele notiuni si proprietati:

  • Multimea numerelor intregi impreuna cu adunarea formeaza o structura algebrica de grup abelian, pe care il vom nota  \left ( \mathbb{Z},+ \right ) ;
  • Subgrupurile grupului \left ( \mathbb{Z},+ \right )  sunt multimile n\mathbb{Z}=\left \{ kn|k\in \mathbb{Z} \right \} , unde n\in \mathbb{Z}^{*} ;
  • Daca n\in \mathbb{Z}^{*}  si a\in \mathbb{Z} , atunci  clasa\; lui\; a\; modulo\; n  este \widehat{a}=\left \{ a+kn|k\in \mathbb{Z} \right \} care mai poate fi scrisa ca \widehat{a}=a+n\mathbb{Z} si privita ca fiind o  translatie  a subgrupului n\mathbb{Z}  in grupul \left ( \mathbb{Z},+ \right ) ;
  • Ideile anterioare pot fi generalizate pentru orice grup cu conditia ca, in cazul grupurilor neabeliene, sa facem distinctie intre translatia la stanga  si  translatia la dreapta .

Definitia 1.

Fie H  un subgrup al grupului \left ( G,\cdot \right )  . Pentru  a\in G,  definim urmatoarele multimi:

  1. aH=\left \{ ah|h\in H \right \}  (H – comultimea stanga , prin elementul  a) ;
  2. Ha=\left \{ ha|h\in H \right \}  (H – comultimea dreapta , prin elementul  a ) .

Observatii.

  • O H – comultime este de fapt o  translatie (stanga, respectiv dreapta) a subgrupului H ;
  • H este o H – comultime prin elementul neutru e ;
  • Deoarece a=ae=ea (e  este elementul neutru din grup), rezulta a\in aH\; si\; a\in Ha ;
  • In general aH\neq Ha. Daca \left ( G,\cdot \right )  este grup abelian , atunci aH=Ha ;
  • Daca a\in H , atunci aH=Ha=H si reciproc daca aH=H\, \; sau\; Ha=H , atunci a\in H ;
  • Daca operatia din grup este notata aditiv, atunci H- comultimea  va fi notata a+H, respectiv H+a .

Lema 1.

Fie H  un subgrup al grupului  \left ( G,\cdot \right )  si  a,b\in G. Atunci:

  1. Multimile H,aH\; si\; Ha  sunt echivalente;
  2. Multimile aH,bH,Ha\; si\; Hb  sunt echivalente.

Demonstratie.

  1. Este suficient sa demonstram ca functiile f_{a}:H\rightarrow aH,\: f_{a}\left ( x \right )=ax , respectiv g_{a}:H\rightarrow Ha,\: g_{a}\left ( x \right )=xa  sunt bijective. Intr-adevar cele doua functii sunt corect definite si din f_{a}\left ( x \right )=f_{a}\left ( y \right )\Leftrightarrow ax=ay\Rightarrow x=y , deci f_{a} este injectiva. Apoi daca y=ax\in aH,\: x\in H  avem y=f_{a}\left ( x \right ) , de unde se obtine ca functia  f_{a}  este si surjectiva.
    Analog se arata ca functia  g_{a}  este bijectiva.
  2. Din punctul anterior multimile  aH,Ha,bH,Hb  sunt echivalente cu multimea  H, deci sunt echivalente intre ele.

Lema 2.

Fie H  un subgrup al grupului  \left ( G,\cdot \right )  si  a,b\in G. Atunci:

  1. aH=bH  ( Ha=Hb )  daca si numai daca  b\in aH  ( b\in Ha );
  2. aH\cap bH=\O  ( Ha\cap Hb=\O )  daca si numai daca b\notin aH  ( b\notin Ha ).

Demonstratie.

a.

"\Rightarrow":aH=bH\; si\; b\in bH\Rightarrow b\in aH,  respectiv  Ha=Hb\; si\; b\in Hb\Rightarrow b\in Ha.

"\Leftarrow": Fie b=ah,x=ah_{1}\in aH,y=bh_{2}\in bH. Avem x=\left ( bh^{-1} \right )h_{1}=b\left ( h^{-1}h_{1} \right )\in bH, deci aH\subset bH si y=\left ( ah \right )h_{2}=a\left ( hh_{2} \right )\in aH, deci bH\subset aH. Rezulta aH=bH si demonstratie asemanatoare pentru H – comultimile dreapta ;

b.

"\Rightarrow ": Daca prin reducere la absurd b\in aH\, \; \left ( b\in Ha \right ) rezulta din punctul anterior aH=bH\: \left ( Ha=Hb \right )\Rightarrow aH\cap bH\neq \O \: \left ( Ha\cap Hb\neq \O \right )-Contradictie.

"\Leftarrow": Fie prin reducere la absurd x=ah_{1}=bh_{2}\in aH\cap bH,\: h_{1},h_{2}\in H. Rezulta b=xh_{2}^{-1}= =\left ( ah_{1} \right )h_{2}^{-1}=a\left ( h_{1}h_{2}^{-1} \right )\in aH-Contradictie si demonstratie asemanatoare pentru H – comultimile dreapta .

Teorema 1(Lagrange).

Intr-un grup finit  ordinul oricarui subgrup divide ordinul grupului.

Demonstratie.

Fie un grup finit  \left ( G,\cdot \right )  avand ordinul n si  H un subgrup al lui G avand ordinul k  ( 0<k\leqslant n ). Tinand cont de faptul ca multimea G este finita,  aceasta se poate scrie ca o reuniune finita de  H – comultimi stanga , adica G=a_{1}H\cup a_{2}H\cup ....\cup a_{m}H.

Daca a_{2}\notin a_{1}H,\: a_{3}\notin a_{1}H\cup a_{2}H,\: a_{4}\notin a_{1}H\cup a{_{2}}H\cup a_{3}H,........., atunci, conform lemei 2, H – comultimile a_{1}H,a_{2}H,...,a_{m}H vor fi distincte doua cate doua si, cum fiecare dintre ele contine k elemente (lema 1), vom avea n=km, de unde rezulta ord\left ( H \right )|ord\left ( G \right )   .

Corolar 1. Intr-un grup finit ordinul oricarui element divide ordinul grupului.

Demonstratie.

Fie un grup finit  \left ( G,\cdot \right )  avand ordinul n  si a\in G . Avem  ord\left ( a \right )=ord\left ( H \right ) , unde H este subgrupul generat de elementul a , deci conform teoremei lui Lagrange ord\left ( a \right )|ord\left ( G \right ) .

Corolar 2. Fie un grup finit  \left ( G,\cdot \right ) , de element neutru  e ,  avand ordinul  n  si  a\in G. Atunci  a^{n}=e .

Demonstratie.

Fie  ord(a)=k . Din corolarul 1  avem  n=k\cdot l,\: l\in \mathbb{N}^{*} , de unde rezulta  a^{n}=\left ( a^{k} \right )^{l}=e^{l}=e .

Corolar 3. Orice grup finit, de ordin un numar prim , este grup ciclic.

Demonstratie.

Fie un grup finit  \left ( G,\cdot \right )  avand ordinul n  si  a\in G-\left \{ e \right \}  ( e  este elementul neutru ). Din  n  numar prim si din corolarul 1  rezulta ord(a)=n , deci  G  este grupul generat de elemenul  a , in concluzie este grup ciclic.

Teorema 2.

Fie H  un subgrup al grupului  \left ( G,\cdot \right ) . Atunci multimile \left ( G/H \right )_{s}=\left \{ xH|x\in G \right \} si \left ( G/H \right )_{d}=\left \{ Hx|x\in G \right \}  sunt echivalente.

Demonstratie.

Fie functia  \Phi :\left ( G/H \right )_{s}\rightarrow \left ( G/H \right )_{d},\: \Phi (xH)=Hx^{-1} . Avem Hx^{-1}=Hy^{-1}\overset{Lema\: 2}{\Rightarrow }y^{-1}\in Hx^{-1}   \Rightarrow y\in xH\overset{Lema\: 2}{\Rightarrow }xH=yH ,  deci functia  \Phi este  injectiva. Pe de alta parte pentru  Hy\in \left ( G/H \right )_{d}  avem  Hy=\Phi \left ( y^{-1}H \right ) ,  ceea ce inseamna ca functia \Phi  este si surjectiva si in concluzie multimile  \left ( G/H \right )_{s}=\left \{ xH|x\in G \right \}  si  \left ( G/H \right )_{d}=\left \{ Hx|x\in G \right \}  sunt echivalente.

Observatie.

Teorema anterioara ne arata ca numarul de H – comultimi stanga este egal cu numarul de H – comultimi dreapta.

Definitie 2.

Fie H  un subgrup al grupului  \left ( G,\cdot \right ) . Numim indicele lui  H  in  G numarul de H – comultimi stanga  ( numarul de H – comultimi dreapta ).

Observatii:

  • Indicele subgrupului  H  in grupul  \left ( G,\cdot \right )  se noteaza cu  \left [ G:H \right ]  si poate fi un numar natural nenul sau infinit. El reprezinta cardinalul multimii  \left ( G/H \right )_{s}  sau cardinalul multimii  \left ( G/H \right )_{d}  (conform teoremei 2 cele doua multimi sunt echivalente) ;
  • Indicele unui subgrup intr-un grup ne spune de fapt de cate ori trebuie sa translatam subgrupul ( la stanga de exemplu ) pentru a acoperii intregul grup;
  • Daca H este un subgrup al unui grup finit, teorema lui Lagrange stabileste egalitatea:

ord\left ( G \right )=ord\left ( H \right )\cdot \left [ G:H \right ]

Exemple:

  1. In cazul grupului  \left ( \mathbb{Z},+ \right ) , pentru  n\in \mathbb{N}^{*}  avem \left [\mathbb{Z}:n\mathbb{Z} \right ]=n si \left ( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right )_{s}=\left ( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right )_{d}=\mathbb{Z}_{n} ;
  2. In cazul grupului  \left ( S_{3},\circ \right )  si subgrupului  H=\left \{ e,\tau \right \}  , unde  \tau =\left ( 12 \right )=\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &3 \end{matrix} \right ) , pentru  \sigma =\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 2 &3 &1 \end{matrix} \right )  avem:

\left [ S_{3}:H \right ]=3,\; \left ( S_{3}/H \right )_{s}=\left \{ H,\sigma H,\sigma ^{2}H \right \},\; \left ( S_{3}/H \right )_{d}=\left \{ H,H\sigma,H\sigma ^{2} \right \}, unde

H=\left \{ e,\tau \right \}=\left \{ \left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 1 &2 &3 \end{matrix} \right ),\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &3 \end{matrix} \right ) \right \},\: \sigma H=\left \{ \sigma ,\sigma \tau \right \}=\left \{ \left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 2 &3 &1 \end{matrix} \right ),\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 3 &2 &1 \end{matrix} \right ) \right \}

\sigma ^{2}H=\left \{ \sigma ^{2},\sigma ^{2}\tau \right \}=\left \{ \left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 3 &1 &2 \end{matrix} \right ),\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 1 &3 &2 \end{matrix} \right ) \right \} ,

H\sigma =\left \{ \sigma ,\tau \sigma \right \}=\left \{ \left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 2 &3 &1 \end{matrix} \right ),\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 1 &3 &2 \end{matrix} \right ) \right \},H\sigma ^{2}=\left \{ \sigma ^{2},\tau \sigma ^{2} \right \}=\left \{ \left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 3 &1 &2 \end{matrix} \right ),\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 3 &2 &1 \end{matrix} \right ) \right \} .

Aplicatie.

Determinati indicele subgrupului  15\mathbb{Z} in grupul  3\mathbb{Z} .

Solutie.

3\mathbb{Z}  se poate scrie ca o reuniune de  15\mathbb{Z} – comultimi disjuncte doua cate doua, astfel:

3\mathbb{Z}=15\mathbb{Z}\cup \left ( 3+15\mathbb{Z} \right )\cup \left ( 6+15\mathbb{Z} \right )\cup \left ( 9+15\mathbb{Z} \right )\cup \left ( 12+15\mathbb{Z} \right )\, \; \; \left ( 1 \right )

Din (1) rezulta \left [ 3\mathbb{Z}:15\mathbb{Z} \right ]=5.

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro
techstar.ro
Reclame

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare /  Schimbă )

Fotografie Google

Comentezi folosind contul tău Google. Dezautentificare /  Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare /  Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare /  Schimbă )

Conectare la %s