Submultimi remarcabile ale unui grup. Ecuatia claselor.

In acest articol vom considera unele submultimi remarcabile ale unui grup, vom stabili cateva proprietati ale grupurilor,  si vom demonstra ecuatia claselor. In acest scop vom considera cunoscute urmatoarele:

  • Notiunea de grup. Vom nota un grup cu  \left ( G,\cdot \right ) .
  • Notiunea de subgrup al unui grup.
  • Notiunile de H – comultime stanga   si H – comultime dreapta , unde  \left ( H,\cdot \right )  este un subgrup al unui grup  \left ( G,\cdot \right ) .
  • Notatiile \left ( G/H \right )_{s},\left ( G/H \right )_{d} pentru multimea H – comultimilor stanga , respectiv multimea H – comultimilor dreapta .
  • Teorema lui Lagrange pentru grupurile finite si notiunea de indice al unui subgrup  H  intr-un grup G,\; \left [ G:H \right ]  .

Definitia 1.

Fie \left ( G,\cdot \right ) un grup si \varnothing \neq X\subset G. Multimea Z_{G}(X)=\left \{ g\in G|gx=xg,\forall x\in X \right \} se numeste centralizatorul multimii  X  in  G .

Teorema 1.

Daca  \left ( G,\cdot \right )  este un grup si  \varnothing \neq X\subset G , atunci  \left ( Z_{G}(X),\cdot \right )  este un subgrup al lui  \left ( G,\cdot \right ) .

Demonstratie.

Fie  g_{1},g_{2}\in Z_{G}\left ( X \right )  si  x\in X . Avem:

\left ( g_{1}g_{2} \right )x=g_{1}\left ( g_{2}x \right )\overset{g_{2}\in Z_{G}\left ( X \right )}{=}g_{1}\left ( xg_{2} \right )=\left ( g_{1}x \right )g_{2}\overset{g_{1}\in Z_{G}\left ( X \right )}{=}\left ( xg_{1} \right )g_{2}=x\left ( g_{1}g_{2} \right )\Rightarrow

g_{1}g_{2}\in Z_{G}\left ( X \right )\;\; \left ( 1 \right ) .

g_{1}\in Z_{G}\left ( X \right )\Rightarrow g_{1}x=xg_{1}\Rightarrow xg_{1}^{-1}=g_{1}^{-1}x\Rightarrow g_{1}^{-1}\in Z_{G}\left ( X \right )\; \; \left ( 2 \right ) .

Din (1) si (2), rezulta  \left ( Z_{G}\left ( X \right ),\cdot \right )  subgrup al grupului \left ( G,\cdot \right ) .

Observatii:

  1. In cazul particular in care  X=\left \{ x \right \} , multimea Z_{G}\left ( X \right )=Z_{G}\left ( \left \{x \right \} \right )\overset{not}{=}Z_{G}\left ( x \right )  se mai numeste centralizatorul elementului  x\in G  (elementele sale comuta cu elementul  x ).
  2. In cazul particular in care  X=G , multimea  Z_{G}\left ( X \right )=Z\left ( G \right )  se mai numeste centrul grupului  G  (elementele sale comuta cu orice element din G ) . Grupul \left ( G,\cdot \right ) este grup abelian daca si numai daca Z\left ( G \right )=G.
  3. Daca  \varnothing \neq X_{1}\subset X_{2}\subset G , se arata usor ca  Z_{G}\left ( X_{2} \right )\subset Z_{G}\left ( X_{1} \right ) , deci in particular  Z_{G}\left ( G \right )  este subgrup al oricarui centralizator.
  4. Este valabila egalitatea  Z_{G}\left ( G \right )=\bigcap_{x\in G}^{\, }Z_{G}\left ( x \right ) .

Definitia 2.

Fie \left ( G,\cdot \right ) un grup si \varnothing \neq X\subset G . Normalizatorul multimii X  in  G este prin definitie multimea  N_{G}\left ( X \right )=\left \{ g\in G|gX=Xg \right \}=\left \{ g\in G|\left \{ gx|x\in X \right \}=\left \{ xg|x\in X \right \} \right \}.

Teorema 2.

Daca  \left ( G,\cdot \right )  este un grup si  \varnothing \neq X\subset G , atunci  \left ( N_{G}(X),\cdot \right )  este un subgrup al lui  \left ( G,\cdot \right ) , iar   \left ( Z_{G}(X),\cdot \right )  este un subgrup al lui  \left ( N_{G}(X),\cdot \right )  .

Demonstratie.

Fie  g_{1},g_{2}\in N_{G}\left ( X \right )  . Avem:

\left ( g_{1}g_{2} \right )X=g_{1}\left ( g_{2}X \right )\overset{g_{2}\in N_{G}\left ( X \right )}{=}g_{1}\left ( Xg_{2} \right )=

\left ( g_{1}X \right )g_{2}\overset{g_{1}\in N_{G}\left ( X \right )}{=}\left ( Xg_{1} \right )g_{2}=X\left ( g_{1}g_{2} \right )\Rightarrow g_{1}g_{2}\in N_{G}\left ( X \right )\; \, \; \left ( 3 \right ).

g_{1}\in N_{G}\left ( X \right )\Rightarrow g_{1}X=Xg_{1}\Rightarrow Xg_{1}^{-1}=g_{1}^{-1}X\Rightarrow g_{1}^{-1}\in N_{G}\left ( X \right )\, \; \; \left ( 4 \right ).

Din (3) si (4), rezulta  \left ( N_{G}\left ( X \right ),\cdot \right )  subgrup al grupului \left ( G,\cdot \right ) . Pentru a arata ca   \left ( Z_{G}(X),\cdot \right )  este un subgrup al lui  \left ( N_{G}(X),\cdot \right )   este suficient sa aratam incluziunea Z_{G}\left ( X \right )\subset N_{G}\left ( X \right ) . Intr-adevar g\in Z_{G}\left ( X \right )\Rightarrow gx=xg,\forall x\in X\Rightarrow gX=Xg\Rightarrow g\in N_{G}\left ( X \right ) , deci rezulta Z_{G}\left ( X \right )\subset N_{G}\left ( X \right ) .

Observatie.

In cazul particular in care  X=\left \{ x \right \} , multimea N\left ( X \right )=N\left ( \left \{x \right \} \right )\overset{not}{=}N\left ( x \right )  ( normalizatorul  elementului  x\in G  ) coincide centralizatorul acestui element .

Exemplu.

Vom considera un grup neabelian cu  8  elemente, anume grupul diedral  \left ( G,\cdot \right )=\left ( D_{4},\cdot \right ) , unde D_{4}=\left \{ e,\sigma ,\sigma ^{2},\sigma ^{3},\tau ,\tau \sigma ,\tau \sigma ^{2},\tau \sigma ^{3} \right \} si ord\left ( \sigma \right )=4,ord\left ( \tau \right )=2,\sigma \tau =\tau \sigma ^{3} . Se probeaza imediat ca in acest grup au loc urmatoarele egalitati:

  1. Z_{G}\left ( e \right )=Z_{G}\left ( \sigma ^{2} \right )=G ;
  2. Z_{G}\left ( \sigma \right )=Z_{G}\left ( \sigma ^{3} \right )=\left \{ e,\sigma ,\sigma ^{2},\sigma ^{3} \right \} :
  3. Z_{G}\left ( \tau \right )=Z_{G}\left ( \tau \sigma ^{2} \right )=\left \{ e,\sigma ^{2},\tau ,\tau \sigma ^{2} \right \} ;
  4. Z_{G}\left ( \tau \sigma \right )=Z_{G}\left ( \tau \sigma ^{3} \right )=\left \{ e,\sigma ^{2},\tau \sigma ,\tau \sigma ^{3} \right \} ;
  5. Z\left ( G \right )=\left \{ e,\sigma ^{2} \right \} ;
  6. N_{G}\left ( \left \{ \sigma ,\tau \right \} \right )=\left \{ e,\sigma ^{2} \right \} ;
  7. N_{G}\left ( \left \{ \sigma ,\sigma ^{3} \right \} \right )=G .

 Demonstratie.

Tinand cont de faptul ca  \sigma ^{4}=\tau ^{2}=e,\sigma \tau =\tau \sigma ^{3}\;\;\left ( 5 \right ) , se obtin si egalitatile  \sigma ^{2}\tau =\tau \sigma ^{2},\sigma ^{3}\tau =\tau \sigma,\left ( \tau \sigma \right )^{2}=\left ( \tau \sigma ^{2} \right )^{2}=\left ( \tau \sigma ^{3} \right )^{2}=e\; \; \left ( 6 \right )  si se poate completa tabla grupului  \left ( D_{4},\cdot \right ) .

D4

Astfel punctele a), b), c), d) rezulta pe baza simetriilor din tabel fata de diagonala principala si demonstram celelalte puncte.Intra-adevar:

Z\left ( G \right )=\bigcap_{x\in G}^{\, }Z_{G}\left ( x \right )=Z_{G}\left ( e \right )\cap Z_{G}\left ( \sigma \right )\cap .... \cap Z_{G}\left ( \tau \sigma ^{3} \right )=\left \{ e,\sigma ^{2} \right \}.

Apoi avem:

e\left \{ \sigma ,\tau \right \}=\left \{\sigma ,\tau \right \}=\left \{ \sigma ,\tau \right \}e\Rightarrow e\in N_{G}\left ( \left \{ \sigma ,\tau \right \} \right )\; \; \left ( 7 \right )

\left.\begin{matrix} \sigma \left \{ \sigma ,\tau \right \}=\left \{ \sigma ^{2},\sigma \tau \right \}=\left \{ \sigma ^{2},\tau \sigma ^{3} \right \}\\ \left \{ \sigma ,\tau \right \}\sigma =\left \{ \sigma ^{2},\tau \sigma \right \}\end{matrix}\right\}\Rightarrow \sigma \left \{ \sigma ,\tau \right \}\neq \left \{ \sigma ,\tau \right \}\sigma\Rightarrow \sigma \notin N_{G}\left ( \left \{ \sigma ,\tau \right \} \right ) \; \; \left ( 8 \right )

\left.\begin{matrix} \sigma ^{2}\left \{ \sigma ,\tau \right \}=\left \{ \sigma ^{3},\sigma ^{2}\tau \right \}=\left \{ \sigma ^{3},\tau \sigma ^{2} \right \}\\ \left \{ \sigma ,\tau \right \}\sigma ^{^{2}}=\left \{ \sigma ^{3},\tau \sigma ^{2} \right \}\end{matrix}\right\}\Rightarrow \sigma ^{2}\left \{ \sigma ,\tau \right \}=\left \{ \sigma ,\tau \right \}\sigma ^{2}\Rightarrow \sigma ^{2}\in N_{G}\left ( \left \{ \sigma ,\tau \right \} \right )\; \; \left ( 9 \right )

\left.\begin{matrix} \sigma ^{3}\left \{ \sigma ,\tau \right \}=\left \{ \sigma ^{4},\sigma ^{3}\tau \right \}=\left \{ e,\tau\sigma \right \}\\ \left \{ \sigma ,\tau \right \}\sigma ^{3}=\left \{ \sigma ^{4},\tau \sigma ^{3} \right \}=\left \{ e,\tau \sigma ^{3} \right \}\end{matrix}\right\}\Rightarrow \sigma ^{3}\left \{ \sigma ,\tau \right \}\neq \left \{ \sigma ,\tau \right \}\sigma ^{3}\Rightarrow \sigma ^{3}\notin N_{G}\left ( \left \{ \sigma ,\tau \right \} \right )\; \; \left ( 10 \right )

\left.\begin{matrix} \tau \left \{ \sigma ,\tau \right \}=\left \{ \tau \sigma ,\tau ^{2} \right \}=\left \{ \tau \sigma ,e \right \}\\ \left \{ \sigma ,\tau \right \}\tau =\left \{ \sigma \tau ,\tau ^{2} \right \}=\left \{ \tau \sigma ^{3},e \right \}\end{matrix}\right\}\Rightarrow \tau \left \{ \sigma ,\tau \right \}\neq \left \{ \sigma ,\tau \right \}\tau\Rightarrow \tau \notin N_{G}\left ( \left \{ \sigma ,\tau \right \} \right )\; \; \left ( 11 \right )

\left.\begin{matrix} \tau \sigma \left \{ \sigma ,\tau \right \}=\left \{ \tau \sigma ^{2},\tau (\sigma \tau ) \right \}=\left \{ \tau \sigma ^{2},\tau \left ( \tau \sigma ^{3} \right ) \right \}=\left \{ \tau \sigma ^{2},\sigma ^{3} \right \}\\ \left \{ \sigma ,\tau \right \}\tau \sigma =\left \{ \left ( \sigma \tau \right )\sigma ,\tau ^{2}\sigma \right \}=\left \{ \left ( \tau \sigma ^{3} \right )\sigma ,\sigma \right \}=\left \{ \tau ,\sigma \right \}\end{matrix}\right\}\Rightarrow

\tau \sigma \left \{ \sigma ,\tau \right \}\neq \left \{ \sigma ,\tau \right \}\tau \sigma\Rightarrow \tau \sigma \notin N_{G}\left ( \left \{ \sigma ,\tau \right \} \right )\; \; \left (12 \right )

\left.\begin{matrix} \tau \sigma ^{2}\left \{ \sigma ,\tau \right \}=\left \{ \tau \sigma ^{3},\tau \left ( \sigma ^{2}\tau \right ) \right \}=\left \{ \tau \sigma ^{3},\tau \left ( \tau \sigma ^{2} \right ) \right \}=\left \{ \tau \sigma ^{3},\sigma ^{2} \right \}\\ \left \{ \sigma ,\tau \right \}\tau \sigma ^{2}=\left \{ \left ( \sigma \tau \right )\sigma ^{2},\tau ^{2}\sigma ^{2} \right \}=\left \{ \left ( \tau \sigma ^{3} \right )\sigma ^{2},\sigma ^{2} \right \}=\left \{ \tau \sigma ,\sigma ^{2} \right \}\end{matrix}\right\}\Rightarrow

\tau \sigma ^{2}\left \{ \sigma ,\tau \right \}\neq \left \{ \sigma ,\tau \right \}\tau \sigma ^{2}\Rightarrow \tau \sigma ^{2}\notin N_{G}\left ( \left \{ \sigma ,\tau \right \} \right )\; \; \left ( 13 \right )

\left.\begin{matrix} \tau \sigma ^{3}\left \{ \sigma ,\tau \right \}=\left \{ \tau \sigma ^{4},\tau \left ( \sigma ^{3}\tau \right ) \right \}=\left \{ \tau ,\tau \left ( \tau \sigma \right ) \right \}=\left \{ \tau ,\sigma \right \}\\ \left \{ \sigma ,\tau \right \}\tau \sigma ^{3}=\left \{ \left ( \sigma \tau \right )\sigma ^{3},\tau ^{2}\sigma ^{3} \right \}=\left \{ \left ( \tau \sigma ^{3} \right )\sigma ^{3},\sigma ^{3} \right \}=\left \{ \tau \sigma ^{2},\sigma ^{3} \right \}\end{matrix}\right\}\Rightarrow

\tau \sigma ^{3}\left \{ \sigma ,\tau \right \}\neq \left \{ \sigma ,\tau \right \}\tau \sigma ^{3}\; \; \Rightarrow \tau \sigma ^{3}\notin N_{G}\left ( \left \{ \sigma ,\tau \right \} \right )\; \; \left ( 14 \right )\;.

Din (7),(8),….,(14)  rezulta ca normalizatorul multimii  \left \{ \sigma ,\tau \right \}  in G  este multimea  N_{G}\left ( \left \{ \sigma ,\tau \right \} \right )=\left \{ e,\sigma ^{2} \right \}  si prin aceeasi metoda se arata ca  N_{G}\left ( \left \{ \sigma ,\sigma ^{3} \right \} \right )=G.

Observatie.

Centralizatoarele Z_{G}\left ( \sigma \right ),Z_{G}\left ( \sigma ^{3} \right ) sunt subgrupuri ciclice de ordinul 4  ale lui G=D_{4} , iar centralizatoarele Z_{G}\left ( \tau \right ),Z_{G}\left ( \tau \sigma \right ),Z_{G}\left ( \tau \sigma ^{2} \right ),Z_{G}\left ( \tau \sigma ^{3} \right ) sunt subgrupuri ale lui D_{4} izomorfe cu grupul lui Klein .

Definitia 3.

Fie  \left ( G,\cdot \right )  un grup si  \varnothing \neq X\subset G . Clasa de conjugare a multimii  X  in  G este prin definitie multimea de multimi  \overline{C_{G}}\left ( X \right )=\left \{ gXg^{-1} |g\in G\right \}=\left \{ \left \{ gxg^{-1}|x\in X \right \}|g\in G \right \}.

Teorema 3.

Fie  \left ( G,\cdot \right )  este un grup si  \varnothing \neq X\subset G . Atunci  multimile \overline{C_{G}}\left ( X \right )  si \left ( G/N_{G}\left ( X \right ) \right )_{s}  sunt echipotente. Daca G este grup finit, atunci cardinalul multimii \overline{C_{G}}\left ( X \right ) este egal cu indicele lui  N_{G}\left ( X \right )  in  G .

Demonstratie.

Fie functia  F:\overline{C_{G}}\left ( X \right )\rightarrow \left (G/N_{G}\left ( X \right )\right )_{s},F\left ( gXg^{-1} \right )=gN_{G}\left ( X \right ) . Evident  F  este functie surjectiva si aratam ca este si injectiva. Intr-adevar daca  g_{1},g_{2}\in G , astfel incat F\left ( g_{1} \right )=F\left ( g_{2} \right ) , avem:

g_{1}N_{G}\left ( X \right )=g_{2}N_{G}\left ( X \right )\Rightarrow g_{2}\in g_{1}N_{G}\left ( X \right )\Rightarrow \exists n\in N_{G}\left ( X \right )\: a.i.\: g_{2}=g_{1}n\Rightarrow

g_{2}Xg_{2}^{-1}=\left ( g_{1}n \right )X\left ( g_{1}n \right )^{-1}=g_{1}\left ( nXn^{-1} \right )g_{1}^{-1}\overset{n\in N_{G}\left ( X \right )}{=}g_{1}Xg_{1}^{-1},

de unde rezulta  F  injectiva. Deci multimile \overline{C_{G}}\left ( X \right )  si \left ( G/N_{G}\left ( X \right ) \right )_{s}  sunt echipotente iar in cazul in care grupul este finit, cele doua multimi avand acelasi cardinal, se obtine card\left ( C_{G}\left ( X \right ) \right )=\left [ G:N_{G}\left ( X \right ) \right ] .

Teorema 4.

Fie  \left ( G,\cdot \right )  un grup si  \varnothing \neq X,Y\subset G . Atunci:

  1. \overline{C_{G}}\left ( X \right )= \overline{C_{G}}\left ( Y \right )  daca si numai daca Y\in \overline{C_{G}}\left ( X \right ) .
  2. \overline{C_{G}}\left ( X \right )\cap \overline{C_{G}}\left ( Y \right )=\varnothing  sau \overline{C_{G}}\left ( X \right )= \overline{C_{G}}\left ( Y \right ) .

Demonstratie.

a)Implicatia directa este evidenta si demonstram implicatia inversa prin dubla incluziune. Avem:

Y\in \overline{C_{G}}\left ( X \right )\Rightarrow\exists g_{1}\in G\: a.i.\: Y=g_{1}Xg_{1}^{-1}\Rightarrow

gYg^{-1}=\left ( gg_{1} \right )X\left ( gg_{1} \right )^{-1 }\in \overline{C_{G}}\left ( X \right ),\forall g\in G\Rightarrow \overline{C_{G}}\left ( Y \right )\subset \overline{C_{G}}\left ( X \right )

Apoi din Y=g_{1}Xg_{1}^{-1}  rezulta X=g_{1}^{-1}Y\left ( g_{1}^{-1} \right )^{-1} ( deci X\in \overline{C_{G}}\left ( Y \right ) ) si analog se arata ca \overline{C_{G}}\left ( X \right )\subset \overline{C_{G}}\left ( Y \right ) .

b)Fie \overline{C_{G}}\left ( X \right )\cap \overline{C_{G}}\left ( Y \right )\neq \varnothing , deci exista g_{1},g_{2}\in G astfel incat g_{1}Xg_{1}^{-1}=g_{2}Yg_{2}^{-1} , de unde rezulta Y=\left ( g_{2}^{-1}g_{1} \right )X\left ( g_{2}^{-1}g_{1} \right )^{-1}\in \overline{C_{G}}\left ( X \right )  si conform punctului (a)  \overline{C_{G}}\left ( X \right )=\overline{C_{G}}\left ( Y \right ) .

Observatii:

  1. In cazul particular in care  X=\left \{ x \right \} , multimea \overline{C_{G}}\left ( X \right )=\overline{C_{G}}\left ( \left \{x \right \} \right )\overset{not}{=}\overline{C_{G}}\left ( x \right )  se  numeste clasa de conjugare a elementului  x\in G .
  2. Multimile  \overline{C_{G}}\left ( x \right )\: si\: \left ( G/Z_{G}\left ( x \right ) \right )_{s} sunt echipotente ( normalizatorul N_{G}\left ( x \right ) coincide cu centralizatorul Z_{G}\left ( x \right ) ).
  3. Daca x\in Z\left ( G \right )  avem \left \{ gxg^{-1}|g\in G \right \}=\left \{ x \right \} , deci \overline{C_{G}}\left ( x \right )=\left \{ x \right \} .
  4. Daca  G  este grup finit, atunci  card\left ( \overline{C_{G}}\left ( X \right ) \right )|ord\left ( G \right ) pentru orice submultime nevida X\subset G  si  card\left ( \overline{C_{G}}\left ( x \right ) \right )=\left [ G:Z_{G}\left ( x \right ) \right ]  pentru orice element  x\in G .

Teorema 5 (ecuatia claselor)

Daca \left ( G,\cdot \right )  este un grup finit, atunci exista exista x_{1},x_{2},....,x_{p}\in G - Z\left ( G \right )  astfel incat

  1. G=Z\left ( G \right )\cup \overline{C_{G}}\left ( x_{1} \right )\cup ....\cup \overline{C_{G}}\left ( x_{p} \right )  si multimile Z\left ( G \right ), \overline{C_{G}}\left ( x_{1} \right ), ...., \overline{C_{G}}\left ( x_{p} \right )  sunt disjuncte doua cate doua .
  2. card\left ( G \right )=card\left ( Z\left ( G \right ) \right )+\left [ G:Z_{G}\left ( x_{1} \right ) \right ]+....+\left [ G:Z_{G}\left ( x_{p} \right ) \right ] .

Demonstratie.

a)Fie a\in Z\left ( G \right )\;\;si\;\;x\in G-Z\left ( G \right ) . Avem \overline{C_{G}}\left ( a \right )=\left \{ a \right \} si cum x\notin \overline{C_{G}}\left ( a \right )\overset{teorema\: 4}{\Rightarrow } \overline{C_{G}}\left ( x \right )\cap \overline{C_{G}}\left ( a \right )=\varnothing , deci \overline{C_{G}}\left ( x \right )\cap Z\left ( G \right )=\varnothing \; \; \left ( 15 \right ).

Alegem  x_{1}\in G-Z\left ( G \right ),x_{2}\in G-\left [ Z\left ( G \right )\cup \overline{C_{G}}\left ( x_{1} \right ) \right ],x_{3}\in G-\left [ Z\left ( G \right )\cup \overline{C_{G}}\left ( x_{1} \right )\cup \overline{C_{G}}\left ( x_{2} \right ) \right ],....  si tinand cont de teorema 4, relatia (15) si de faptul ca grupul este finit, rezulta concluzia.

b)Din punctul (a) si si egalitatea  card\left ( \overline{C_{G}}\left ( x \right ) \right )=\left [ G:Z_{G}\left ( x \right ) \right ] (teorema 3).

Exemplu.

In grupul diedral  \left ( G,\cdot \right )  (din exemplul anterior) sunt adevarate urmatoarele egalitati:

  1. \overline{C_{G}}\left ( e \right )=\left \{ e \right \} .
  2. \overline{C_{G}}\left ( \sigma \right )=\overline{C_{G}}\left ( \sigma^{3} \right )=\left \{ \sigma ,\sigma ^{3} \right \} ;
  3. \overline{C_{G}}\left ( \sigma ^{2} \right )=\left \{ \sigma ^{2} \right \} ;
  4. \overline{C_{G}}\left ( \tau \right )=\overline{C_{G}}\left ( \tau \sigma ^{2} \right )=\left \{ \tau ,\tau \sigma ^{2} \right \} ;
  5. \overline{C_{G}}\left ( \tau \sigma \right )=\overline{C_{G}}\left ( \tau \sigma ^{3} \right )=\left \{ \tau \sigma ,\tau \sigma ^{3} \right \} .

Demonstratie.

Tinand cont din nou de egalitatile \left ( 5 \right )\; si\: \left ( 6 \right )  obtinem:

a)\overline{C_{G}}\left ( e \right )=\left \{ geg^{-1} |g\in G\right \}\overset{e\in Z\left ( G \right )}{=}\left \{ e \right \}.

b)\overline{C_{G}}\left ( \sigma \right )=\left \{ g\sigma g^{-1}|g\in G \right \}=

\left \{ e\sigma e^{-1},\sigma \sigma \sigma ^{-1},\sigma ^{2}\sigma \sigma ^{-2},\sigma ^{3}\sigma \sigma ^{-3},\tau \sigma \tau ^{-1},\left ( \tau \sigma \right )\sigma \left ( \tau \sigma \right )^{-1},\left ( \tau \sigma ^{2} \right )\sigma \left ( \tau \sigma ^{2} \right )^{-1},\left ( \tau \sigma ^{3} \right )\sigma \left ( \tau \sigma ^{3} \right )^{-1} \right \}=

\left \{ \sigma,\tau \sigma \tau \right \}=\left \{ \sigma ,\tau \left ( \sigma \tau \right ) \right \}=\left \{ \sigma, \tau \left ( \tau \sigma ^{3} \right ) \right \}=\left \{ \sigma ,\sigma ^{3} \right \}\overset{analog}{=}\overline{C_{G}}\left ( \sigma ^{3} \right ).

c)C_{G}\left ( \sigma ^{2} \right )=\left \{ g\sigma ^{2}g^{-1}|g\in G \right \}\overset{\sigma ^{2}\in Z\left ( G \right )}{=}\left \{ \sigma ^{2} \right \}.

d)C_{G}\left ( \tau \right )=\left \{ g\tau g^{-1}|g\in G \right \}=

\left \{ e\tau e^{-1},\sigma \tau \sigma ^{-1},\sigma ^{2}\tau \sigma ^{-2},\sigma ^{3}\tau \sigma ^{-3},\tau \tau \tau ^{-1},\left ( \tau \sigma \right )\tau \left (\tau \sigma \right )^{-1},\left ( \tau \sigma ^{2} \right )\tau \left ( \tau \sigma ^{2} \right )^{-1},\left ( \tau \sigma ^{3} \right )\tau \left ( \tau \sigma ^{3} \right )^{-1} \right \}=

\left \{ \tau,\sigma \tau \sigma ^{3},\sigma ^{2}\tau \sigma ^{2},\sigma ^{3}\tau \sigma ,\tau ,\left ( \tau \sigma \right )\tau \left ( \tau \sigma \right ),\left ( \tau \sigma ^{2} \right )\tau \left ( \tau \sigma ^{2} \right ),\left ( \tau \sigma ^{3} \right )\tau \left ( \tau \sigma ^{3} \right ) \right \}=

\left \{ \tau ,\tau \sigma ^{6},\tau \sigma ^{4},\tau \sigma ^{2},\tau ,\tau \sigma ^{2},\tau \sigma ^{4},\tau \sigma ^{6} \right \}=\left \{ \tau ,\tau \sigma ^{2} \right \}\overset{analog}{=}\overline{C_{G}}\left ( \tau \sigma ^{2} \right ).

Punctul ( e ) se demonstreaza asemanator si se constata verificarea ecuatiei claselor:

card\left ( G \right )=card\left ( Z\left ( G \right ) \right )+card\left ( \overline{C_{G}}\left (\sigma \right ) \right )+card\left ( \overline{C_{G}}\left (\tau \right ) \right )+card\left ( \overline{C_{G}}\left (\tau \sigma \right ) \right )=

card\left ( Z\left ( G \right ) \right )+\left [ G:Z_{G}\left ( \sigma \right ) \right ]+\left [ G:Z_{G}\left ( \tau \right ) \right ]+\left [ G:Z_{G}\left ( \tau \sigma \right ) \right ].

Academia de matematica aici:htpp://robeauty.ro

autodiagnoze.ro
Reclame

Teorema lui Lagrange

In continuare  vom considera cunoscute urmatoarele notiuni si proprietati:

  • Multimea numerelor intregi impreuna cu adunarea formeaza o structura algebrica de grup abelian, pe care il vom nota  \left ( \mathbb{Z},+ \right ) ;
  • Subgrupurile grupului \left ( \mathbb{Z},+ \right )  sunt multimile n\mathbb{Z}=\left \{ kn|k\in \mathbb{Z} \right \} , unde n\in \mathbb{Z}^{*} ;
  • Daca n\in \mathbb{Z}^{*}  si a\in \mathbb{Z} , atunci  clasa\; lui\; a\; modulo\; n  este \widehat{a}=\left \{ a+kn|k\in \mathbb{Z} \right \} care mai poate fi scrisa ca \widehat{a}=a+n\mathbb{Z} si privita ca fiind o  translatie  a subgrupului n\mathbb{Z}  in grupul \left ( \mathbb{Z},+ \right ) ;
  • Ideile anterioare pot fi generalizate pentru orice grup cu conditia ca, in cazul grupurilor neabeliene, sa facem distinctie intre translatia la stanga  si  translatia la dreapta .

Definitia 1.

Fie H  un subgrup al grupului \left ( G,\cdot \right )  . Pentru  a\in G,  definim urmatoarele multimi:

  1. aH=\left \{ ah|h\in H \right \}  (H – comultimea stanga , prin elementul  a) ;
  2. Ha=\left \{ ha|h\in H \right \}  (H – comultimea dreapta , prin elementul  a ) .

Observatii.

  • O H – comultime este de fapt o  translatie (stanga, respectiv dreapta) a subgrupului H ;
  • H este o H – comultime prin elementul neutru e ;
  • Deoarece a=ae=ea (e  este elementul neutru din grup), rezulta a\in aH\; si\; a\in Ha ;
  • In general aH\neq Ha. Daca \left ( G,\cdot \right )  este grup abelian , atunci aH=Ha ;
  • Daca a\in H , atunci aH=Ha=H si reciproc daca aH=H\, \; sau\; Ha=H , atunci a\in H ;
  • Daca operatia din grup este notata aditiv, atunci H- comultimea  va fi notata a+H, respectiv H+a .

Lema 1.

Fie H  un subgrup al grupului  \left ( G,\cdot \right )  si  a,b\in G. Atunci:

  1. Multimile H,aH\; si\; Ha  sunt echivalente;
  2. Multimile aH,bH,Ha\; si\; Hb  sunt echivalente.

Demonstratie.

  1. Este suficient sa demonstram ca functiile f_{a}:H\rightarrow aH,\: f_{a}\left ( x \right )=ax , respectiv g_{a}:H\rightarrow Ha,\: g_{a}\left ( x \right )=xa  sunt bijective. Intr-adevar cele doua functii sunt corect definite si din f_{a}\left ( x \right )=f_{a}\left ( y \right )\Leftrightarrow ax=ay\Rightarrow x=y , deci f_{a} este injectiva. Apoi daca y=ax\in aH,\: x\in H  avem y=f_{a}\left ( x \right ) , de unde se obtine ca functia  f_{a}  este si surjectiva.
    Analog se arata ca functia  g_{a}  este bijectiva.
  2. Din punctul anterior multimile  aH,Ha,bH,Hb  sunt echivalente cu multimea  H, deci sunt echivalente intre ele.

Lema 2.

Fie H  un subgrup al grupului  \left ( G,\cdot \right )  si  a,b\in G. Atunci:

  1. aH=bH  ( Ha=Hb )  daca si numai daca  b\in aH  ( b\in Ha );
  2. aH\cap bH=\O  ( Ha\cap Hb=\O )  daca si numai daca b\notin aH  ( b\notin Ha ).

Demonstratie.

a.

"\Rightarrow":aH=bH\; si\; b\in bH\Rightarrow b\in aH,  respectiv  Ha=Hb\; si\; b\in Hb\Rightarrow b\in Ha.

"\Leftarrow": Fie b=ah,x=ah_{1}\in aH,y=bh_{2}\in bH. Avem x=\left ( bh^{-1} \right )h_{1}=b\left ( h^{-1}h_{1} \right )\in bH, deci aH\subset bH si y=\left ( ah \right )h_{2}=a\left ( hh_{2} \right )\in aH, deci bH\subset aH. Rezulta aH=bH si demonstratie asemanatoare pentru H – comultimile dreapta ;

b.

"\Rightarrow ": Daca prin reducere la absurd b\in aH\, \; \left ( b\in Ha \right ) rezulta din punctul anterior aH=bH\: \left ( Ha=Hb \right )\Rightarrow aH\cap bH\neq \O \: \left ( Ha\cap Hb\neq \O \right )-Contradictie.

"\Leftarrow": Fie prin reducere la absurd x=ah_{1}=bh_{2}\in aH\cap bH,\: h_{1},h_{2}\in H. Rezulta b=xh_{2}^{-1}= =\left ( ah_{1} \right )h_{2}^{-1}=a\left ( h_{1}h_{2}^{-1} \right )\in aH-Contradictie si demonstratie asemanatoare pentru H – comultimile dreapta .

Teorema 1(Lagrange).

Intr-un grup finit  ordinul oricarui subgrup divide ordinul grupului.

Demonstratie.

Fie un grup finit  \left ( G,\cdot \right )  avand ordinul n si  H un subgrup al lui G avand ordinul k  ( 0<k\leqslant n ). Tinand cont de faptul ca multimea G este finita,  aceasta se poate scrie ca o reuniune finita de  H – comultimi stanga , adica G=a_{1}H\cup a_{2}H\cup ....\cup a_{m}H.

Daca a_{2}\notin a_{1}H,\: a_{3}\notin a_{1}H\cup a_{2}H,\: a_{4}\notin a_{1}H\cup a{_{2}}H\cup a_{3}H,........., atunci, conform lemei 2, H – comultimile a_{1}H,a_{2}H,...,a_{m}H vor fi distincte doua cate doua si, cum fiecare dintre ele contine k elemente (lema 1), vom avea n=km, de unde rezulta ord\left ( H \right )|ord\left ( G \right )   .

Corolar 1. Intr-un grup finit ordinul oricarui element divide ordinul grupului.

Demonstratie.

Fie un grup finit  \left ( G,\cdot \right )  avand ordinul n  si a\in G . Avem  ord\left ( a \right )=ord\left ( H \right ) , unde H este subgrupul generat de elementul a , deci conform teoremei lui Lagrange ord\left ( a \right )|ord\left ( G \right ) .

Corolar 2. Fie un grup finit  \left ( G,\cdot \right ) , de element neutru  e ,  avand ordinul  n  si  a\in G. Atunci  a^{n}=e .

Demonstratie.

Fie  ord(a)=k . Din corolarul 1  avem  n=k\cdot l,\: l\in \mathbb{N}^{*} , de unde rezulta  a^{n}=\left ( a^{k} \right )^{l}=e^{l}=e .

Corolar 3. Orice grup finit, de ordin un numar prim , este grup ciclic.

Demonstratie.

Fie un grup finit  \left ( G,\cdot \right )  avand ordinul n  si  a\in G-\left \{ e \right \}  ( e  este elementul neutru ). Din  n  numar prim si din corolarul 1  rezulta ord(a)=n , deci  G  este grupul generat de elemenul  a , in concluzie este grup ciclic.

Teorema 2.

Fie H  un subgrup al grupului  \left ( G,\cdot \right ) . Atunci multimile \left ( G/H \right )_{s}=\left \{ xH|x\in G \right \} si \left ( G/H \right )_{d}=\left \{ Hx|x\in G \right \}  sunt echivalente.

Demonstratie.

Fie functia  \Phi :\left ( G/H \right )_{s}\rightarrow \left ( G/H \right )_{d},\: \Phi (xH)=Hx^{-1} . Avem Hx^{-1}=Hy^{-1}\overset{Lema\: 2}{\Rightarrow }y^{-1}\in Hx^{-1}   \Rightarrow y\in xH\overset{Lema\: 2}{\Rightarrow }xH=yH ,  deci functia  \Phi este  injectiva. Pe de alta parte pentru  Hy\in \left ( G/H \right )_{d}  avem  Hy=\Phi \left ( y^{-1}H \right ) ,  ceea ce inseamna ca functia \Phi  este si surjectiva si in concluzie multimile  \left ( G/H \right )_{s}=\left \{ xH|x\in G \right \}  si  \left ( G/H \right )_{d}=\left \{ Hx|x\in G \right \}  sunt echivalente.

Observatie.

Teorema anterioara ne arata ca numarul de H – comultimi stanga este egal cu numarul de H – comultimi dreapta.

Definitie 2.

Fie H  un subgrup al grupului  \left ( G,\cdot \right ) . Numim indicele lui  H  in  G numarul de H – comultimi stanga  ( numarul de H – comultimi dreapta ).

Observatii:

  • Indicele subgrupului  H  in grupul  \left ( G,\cdot \right )  se noteaza cu  \left [ G:H \right ]  si poate fi un numar natural nenul sau infinit. El reprezinta cardinalul multimii  \left ( G/H \right )_{s}  sau cardinalul multimii  \left ( G/H \right )_{d}  (conform teoremei 2 cele doua multimi sunt echivalente) ;
  • Indicele unui subgrup intr-un grup ne spune de fapt de cate ori trebuie sa translatam subgrupul ( la stanga de exemplu ) pentru a acoperii intregul grup;
  • Daca H este un subgrup al unui grup finit, teorema lui Lagrange stabileste egalitatea:

ord\left ( G \right )=ord\left ( H \right )\cdot \left [ G:H \right ]

Exemple:

  1. In cazul grupului  \left ( \mathbb{Z},+ \right ) , pentru  n\in \mathbb{N}^{*}  avem \left [\mathbb{Z}:n\mathbb{Z} \right ]=n si \left ( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right )_{s}=\left ( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right )_{d}=\mathbb{Z}_{n} ;
  2. In cazul grupului  \left ( S_{3},\circ \right )  si subgrupului  H=\left \{ e,\tau \right \}  , unde  \tau =\left ( 12 \right )=\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &3 \end{matrix} \right ) , pentru  \sigma =\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 2 &3 &1 \end{matrix} \right )  avem:

\left [ S_{3}:H \right ]=3,\; \left ( S_{3}/H \right )_{s}=\left \{ H,\sigma H,\sigma ^{2}H \right \},\; \left ( S_{3}/H \right )_{d}=\left \{ H,H\sigma,H\sigma ^{2} \right \}, unde

H=\left \{ e,\tau \right \}=\left \{ \left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 1 &2 &3 \end{matrix} \right ),\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &3 \end{matrix} \right ) \right \},\: \sigma H=\left \{ \sigma ,\sigma \tau \right \}=\left \{ \left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 2 &3 &1 \end{matrix} \right ),\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 3 &2 &1 \end{matrix} \right ) \right \}

\sigma ^{2}H=\left \{ \sigma ^{2},\sigma ^{2}\tau \right \}=\left \{ \left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 3 &1 &2 \end{matrix} \right ),\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 1 &3 &2 \end{matrix} \right ) \right \} ,

H\sigma =\left \{ \sigma ,\tau \sigma \right \}=\left \{ \left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 2 &3 &1 \end{matrix} \right ),\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 1 &3 &2 \end{matrix} \right ) \right \},H\sigma ^{2}=\left \{ \sigma ^{2},\tau \sigma ^{2} \right \}=\left \{ \left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 3 &1 &2 \end{matrix} \right ),\left ( \begin{matrix} 1 &2 &3 \\ 3 &2 &1 \end{matrix} \right ) \right \} .

Aplicatie.

Determinati indicele subgrupului  15\mathbb{Z} in grupul  3\mathbb{Z} .

Solutie.

3\mathbb{Z}  se poate scrie ca o reuniune de  15\mathbb{Z} – comultimi disjuncte doua cate doua, astfel:

3\mathbb{Z}=15\mathbb{Z}\cup \left ( 3+15\mathbb{Z} \right )\cup \left ( 6+15\mathbb{Z} \right )\cup \left ( 9+15\mathbb{Z} \right )\cup \left ( 12+15\mathbb{Z} \right )\, \; \; \left ( 1 \right )

Din (1) rezulta \left [ 3\mathbb{Z}:15\mathbb{Z} \right ]=5.

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro
techstar.ro