Partitionarea unei matrice (matrice bloc)

In continuare urmeaza mai multe definitii si exemple legate de matricile bloc, precum si unele proprietati ale acestora.

Definitie 1.

  • Daca A\in M_{m,p}(\mathbb{C}), B\in M_{m,q}(\mathbb{C}) definim matricea bloc  X=\left ( A|B \right )=\left (A\; B \right )\in M_{m,p+q}(\mathbb{C}), matricea obtinuta prin adaugarea coloanelor matricei  B  la drepta coloanelor matricei A .
  • Daca A\in M_{p,n}(\mathbb{C}), B\in M_{q,n}(\mathbb{C}) definim matricea bloc  Y=\begin{pmatrix} A\\ \overline{\; \; }\\ B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A\\ \; \\ B\end{pmatrix}\in M_{p+q,n}\left ( \mathbb{C} \right ), matricea obtinuta prin adaugarea randurilor matricei  B  sub randurile matricei A .

Exemple:

A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 1 &2 &1 \\ 0 &-1 &-2 \end{pmatrix}\Rightarrow X=\left (A|B \right )=\left ( A\; B \right )=\begin{pmatrix} 1 &2 &1 &2 &1 \\ 3 &4 &0 &-1 &-2 \end{pmatrix};

A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 0 &3 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} -1 &2 \\ 0 &1 \\ -3 &4 \end{pmatrix}\Rightarrow Y=\begin{pmatrix} A\\ \overline{\; \; }\\ B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A\\ \; \\ B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 0 &3 \\ -1 &2 \\ 0 &1 \\ -3 &4 \end{pmatrix}.

Definitie 2.

  • Daca A_{1}\in M_{m,p_{1}}\left ( \mathbb{C} \right ),A_{2}\in M_{m,p_{2}}\left ( \mathbb{C} \right ),....,A_{k}\in M_{m,p_{k}}\left ( \mathbb{C} \right ),…., definim recursiv matricile bloc X_{1}\in M_{m,p_{1}}\left ( \mathbb{C} \right ),X_{2}\in M_{m,p_{1}+p_{2}}\left ( \mathbb{C} \right ),....,X_{k}\in M_{m,p_{1}+p_{2}+....+p_{k}}\left ( \mathbb{C} \right ),…. astfel:

X_{k}=\left \{ \begin{matrix} A_{1},\: k=1 & \\ \left ( X_{k-1}|A_{k} \right ),\: k\geqslant 2 & \end{matrix} \right..

  • Daca B_{1}\in M_{p_{1},n}\left ( \mathbb{C} \right ),B_{2}\in M_{p_{2},n}\left ( \mathbb{C} \right ),....,B_{k}\in M_{p_{k},n}\left ( \mathbb{C} \right ),…., definim recursiv matricile bloc Y_{1}\in M_{p_{1},n}\left ( \mathbb{C} \right ),Y_{2}\in M_{p_{1}+p_{2},n}\left ( \mathbb{C} \right ),....,Y_{k}\in M_{p_{1}+p_{2}+....+p_{k},n}\left ( \mathbb{C} \right ),….. astfel:

Y_{k}=\left\{\begin{matrix} B_{1},\; k=1\\ \begin{pmatrix} Y_{k-1}\\ \overline{\; \, \; }\\ B_{k}\end{pmatrix},\; k\geqslant 2\end{matrix}\right. .

Pentru matricile bloc X_{k},Y_{k} se vor folosi si notatiile X_{k}=\left ( A_{1}|A_{2}|....|A_{k} \right ) sau X_{k}=\left ( A_{1}\; A_{2}\; ....\; A_{k} \right ), respectiv   Y_{k}=\begin{pmatrix} B_{1}\\ \overline{B_{2}}\\ .....\\ \overline{B_{k}}\end{pmatrix} sau Y_{k}=\begin{pmatrix} B_{1}\\ .....\\ B_{n}\end{pmatrix} ca in exemplele urmatoare:
Exemple:

\begin{matrix} A_{1}=\begin{pmatrix} 1\\ -1\end{pmatrix},A_{2}=\begin{pmatrix} 2 &3 &-2 \\ 0 &-1 &1 \end{pmatrix},A_{3}=\begin{pmatrix} -2 &0 \\ 1 &4 \end{pmatrix}\Rightarrow \\ X_{3}=\begin{pmatrix} A_{1}|A_{2}|A_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A_{1} &A_{2} &A_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 &-2 &-2 &0 \\ -1 &0 &-1 &1 &1 &4 \end{pmatrix} \end{matrix};

\begin{matrix} B_{1}=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &-2 \end{pmatrix},B_{2}=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -1 &-1 \\ 0 &2 \end{pmatrix},B_{3}=\begin{pmatrix} 4 &5 \end{pmatrix}\Rightarrow \\ Y_{3}=\begin{pmatrix} B_{1}\\ \overline{B_{2}}\\ \overline{B_{3}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} B_{1}\\ \; \\ B_{2}\\ \; \\ B_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &-2 \\ 1 &1 \\ -1 &-1 \\ 0 &2 \\ 4 &5 \end{pmatrix}\end{matrix} .

Definitie 3.

Daca A_{ij}\in M_{m_{i},n_{j}}\left ( \mathbb{C} \right ),i=\overline {1,p},j=\overline{1,q} si pentru orice i\in \left \{1,2,....,p \right \}, X_{i} este matricea bloc \begin{pmatrix} A_{i1}|A_{i2}|....|A_{iq} \end{pmatrix}, definim matricea bloc A  astfel:
A=\begin{pmatrix} \underline{X_{1}}\\ \underline{X_{2}}\\ ....\\ \overline{X_{p}}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} X_{1}\\ X_{2}\\ ....\\ X_{p}\end{pmatrix} .
Se poate observa ca notand, pentru j\in \left \{ 1,2,....,q \right \}, cu Y_{j} matricea bloc \begin{pmatrix} A_{1j}\\ \overline{A_{2j}}\\ .....\\ \overline{A_{pj}}\end{pmatrix}, atunci matricea A se poate scrie si sub forma A=\begin{pmatrix} Y_{1}| &Y_{2}| &.... &|Y_{q} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} Y_{1}\, \; &Y_{2}\; &.... &Y_{q} \end{pmatrix}. De asemenea, se vor folosi pentru matricea bloc  A  notatiile:
A=\begin{pmatrix} A_{11}\; \; \; | &A_{12}\; \; \; | &.... &|A_{1q}\; \; \; \; \\ \overline{A_{21}\; \; \; }| &\overline{A_{22}\; \; \; \; }| &.... &|\overline{A_{2q}\; \; \; \; } \\ .... &..... &.... &.... \\ \overline{A_{p-11}}| &\overline{A_{p-12}}| &.... &|\overline{A_{p-1q}} \\ \overline{A_{p1}\: \: \; \: }| &\overline{A_{p2}\: \; \; \: }| &.... &|\: \, \overline{ A_{pq}\; \; } \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} A_{11}\: &A_{12}\: &....\: &A_{1q} \\ A_{21}\: &A_{22}\: &....\: &A_{2q} \\ .... &.... &.... &.... \\ A_{p-11}\: &A_{p-12}\: &....\: &A_{p-1q} \\ A_{p1}\: &A_{p2}\: &....\: &A_{pq} \end{pmatrix}=\left ( A_{ij} \right )_{\begin{matrix} 1\leq i\leq p\\ 1\leq j\leq q \end{matrix}}
Observatii.
Fie \left ( A_{ij} \right )_{1\leq i\leq p;\: 1\leq j\leq q} o matrice bloc.  Atunci:
  • Matricile A_{ij},i=\overline{1,p},j=\overline{1,q} se mai numesc blocuri sau  submatrice ale matricei A ;
  • Pentru orice i\in \left \{ 1,2,....,p \right \} submatricile A_{i1},A_{i2},....,A_{iq} au acelasi numar de linii si pentru orice j\in \left \{ 1,2,....,q \right \} submatricile A_{1j},A_{2j},....,A_{pj} au acelasi numar de coloane;
  • Daca p=1, q=n  si pentru orice j\in \left \{ 1,2,...,n \right \}   A_{1j}\in M_{m,1}\left ( \mathbb{C} \right ) , atunci blocurile devin coloanele matricei A si facand notatia A_{1j}=C_{j} se poate scrie A=\begin{pmatrix} C_{1}\: &C_{2}\: &....\: &C_{n} \end{pmatrix} ;
  • Daca p=m, q=1  si pentru orice i\in \left \{ 1,2,...,m \right \}   A_{i1}\in M_{1,n}\left ( \mathbb{C} \right ) , atunci blocurile devin liniile matricei A si facand notatia A_{i1}=L_{i} se poate scrie A=\begin{pmatrix} L_{1}\\ L_{2} \\ .... \\L_{m} \end{pmatrix} ;

Privitor la adunarea si inmultirea matricilor bloc, se pot demonstrea urmatoarele teoreme:

Teorema 1.

Fie A=\left ( A_{ij} \right )_{1\leq i\leq p;1\leq j\leq q},\: B=\left ( B_{ij} \right )_{1\leq i\leq p;1\leq j\leq q} doua matrice bloc la fel partitionate (adica pentru orice i\in \left \{ 1,2,....,p \right \} si pentru orice j\in \left \{ 1,2,....,q \right \} matricile bloc A_{ij}\: si\: B_{ij} sunt de acelasi tip). Atunci matricile A si B  se pot aduna pe blocuri dupa regula:

A+B=\left ( A_{ij}+B_{ij} \right )_{1\leq i\leq p,1\leq j\leq q} .

Teorema 2.

Fie A=\left ( A_{ij} \right )_{1\leq i\leq p;1\leq j\leq q},\: B=\left ( B_{ij} \right )_{1\leq i\leq q;1\leq j\leq r} doua matrice bloc cu proprietatea ca pentru orice i\in \left \{ 1,2,...,p \right \},k\in \left \{1,2,...,q \right \},j\in \left \{ 1,2,....,q \right \}    se poate efectua produsul A_{ik}\cdot B_{kj} (adica numarul de coloane al submatricei Aik este egal cu numarul de linii al submatricei Bkj. Atunci matricile A si B se pot inmulti pe blocuri dupa regula:

A\cdot B=\left ( \sum_{k=1}^{q}A_{ik}\cdot B_{kj} \right )_{1\leq i\leq p,1\leq j\leq r} .

Exemplu:

\begin{pmatrix} -1 &0 &2 &1 &3 \\ 0 &-1 &1 &-2 &1 \\ 0 &0 &0 &1 &1 \\ 1 &0 &0 &0 &1 \\ 0 &1 &1 &0 &2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 &2 &0 \\ -1 &0 &1 \\ 2 &1 &0 \\ 3 &0 &-1 \\ 1 &1 &1 \end{pmatrix}=

\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 &2 &0 \\ -1 &0 &1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 &1 &3 \\ 1 &-2 &1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 &1 &0 \\ 3 &0 &-1 \\ 1 &1 &1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 0 &0 \\ 1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 &2 &0 \\ -1 &0 &1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 \\ 1 &0 &2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 &1 &0 \\ 3 &0 &-1 \\ 1 &1 &1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=

\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 &-2 &0 \\ 1 &0 &-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 10 &5 &2 \\ -3 &2 &3 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 1 &2 &0 \\ -1 &0 &1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 &1 &0 \\ 1 &1 &1 \\ 4 &3 &2 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9 &3 &2 \\ -2 &2 &2 \\ 4 &1 &0 \\ 2 &3 &1 \\ 3 &3 &3 \end{pmatrix} .

Aplicatie (formula lui Schur):

Daca X_{n}=\begin{pmatrix} A_{11} &A_{12} &..... &A_{1n} \\ 0 &A_{22} &..... &A_{2n} \\ .... &.... &.... &.... \\ 0 &0 &.... &A_{nn} \end{pmatrix} este o matrice bloc triunghiulara, astfel incat matricile A_{11},A_{22},....,A_{nn} sunt patratice, atunci det(X_{n})=det\left ( A_{11} \right )\cdot det\left ( A_{22} \right )\cdot ....\cdot det\left ( A_{nn} \right ) .
Pentru demonstratie folosim metoda inductie matematice.
Intr-adevar: formula se verifica pentru n=1, iar pentru calculul determinantului matricei Xn+1 , folosind formula lui Laplace  si tinand cont de ipoteza inductiva obtinem:
det\left ( X_{n+1} \right )=det\left ( X_{n} \right )\cdot det\left ( A_{n+1n+1} \right )= .
det\left ( A_{11} \right )\cdot det\left ( A_{22} \right )\cdot ....\cdot det\left ( A_{nn} \right ).\cdot det\left ( A_{n+1n+1} \right ) .
Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

watchshop.ro%20

Reclame

Formula Cauchy-Binet

Vom considera numerele naturale nenule m si n , m ≤ n si matricile A=\left ( a_{ij} \right )\in M_{m,n}\left ( \mathbb{C} \right ) , B=\left ( b_{ij} \right )\in M_{n,m}\left ( \mathbb{C} \right ). Pentru 1\leqslant j_{1}\leqslant j_{2}\leqslant ....\leqslant j_{m}\leqslant n facem notatiile:

A^{j_{1}j_{2}....j_{m}}=\left | \begin{matrix} a_{1j_{1}} &a_{1j_{2}} &.... &a_{1j_{m}} \\ a_{2j_{1}} &a_{2j_{2}} &.... &a_{2j_{m}} \\ .... &.... &.... &.... \\ a_{mj_{1}} &a_{mj_{2}} &.... &a_{mj_{m}} \end{matrix} \right | , B_{j_{1}j_{2}....j_{m}}=\left | \begin{matrix} b_{j_{1}1} &b_{j_{1}2} &.... &b_{j_{1}m} \\ b_{j_{2}1} &b_{j_{2}2} &.... &b_{j_{2}m} \\ .... &.... &.... &.... \\ b_{j_{m}1} &b_{j_{m}2} &.... &b_{j_{m}m} \end{matrix} \right |

si demonstram urmatoarea egalitate cunoscuta sub numele de formula Cauchy-Binet:

det(A\cdot B)=\sum_{1\leqslant j_{1}<j_{2}<....< j_{m}\leqslant n}^{ }A^{j_{1}j_{2}....j_{m}}\cdot B_{j_{1}j_{2}....j_{m}} .

Pentru demonstratia acestei formule, vom nota A\cdot B=C=\left ( c_{ij} \right )\in M_{m}\left ( \mathbb{C} \right ) si avem:
det(A\cdot B)=\sum_{\sigma \in S_{m}}^{ }\varepsilon\left ( \sigma \right )c_{1\sigma \left ( 1 \right )}c_{2\sigma \left ( 2 \right )}....c_{m\sigma \left ( m \right )}=
=\sum_{\sigma \in S_{m}}^{ }\varepsilon \left ( \sigma \right )\left [ \sum_{k_{1}=1}^{n}a_{1k_{1}}b_{k_{1}\sigma \left ( 1 \right )} \right ]\left [ \sum_{k_{2}=1}^{n}a_{2k_{2}}b_{k_{2}\sigma \left ( 2 \right )} \right ]....\left [ \sum_{k_{m}=1}^{n}a_{mk_{m}}b_{k_{m}\sigma \left ( m \right )} \right ]=
=\sum_{\sigma \in S_{m}}^{ }\varepsilon \left ( \sigma \right )\sum_{k_{1},k_{2},....,k_{m}=1}^{n}a_{1k_{1}}a_{2k_{2}}....a_{mk_{m}}b_{k_{1\sigma \left ( 1 \right )}}b_{k_{2}\sigma \left ( 2 \right )}....b_{k_{m}\sigma \left ( m \right )}=
=\sum_{k_{1},k_{2},....,k_{m}=1}^{n}a_{1k_{1}}a_{2k_{2}}....a_{mk_{m}}\sum_{\sigma \in S_{m}}^{ }\varepsilon \left ( \sigma \right )b_{k_{1}\sigma \left ( 1 \right )}b_{k_{2}\sigma \left ( 2 \right )}....b_{k_{m}\sigma \left ( m \right )}=
=\sum_{k_{1},k_{2},....,k_{m}=1}^{n}a_{1k_{1}}a_{2k_{2}}....a_{mk_{m}}B_{k_{1}k_{2}....k_{m}}=
=\sum_{\begin{matrix} k_{1},k_{2},....,k_{m}=1\\ B_{k_{1},k_{2},....,k_{m}}\neq 0 \end{matrix}}^{n}a_{1k_{1}}a_{2k_{2}}....a_{mk_{m}}B_{k_{1}k_{2}....k_{m}}=
=\sum_{\begin{matrix} k_{1},k_{2},....,k_{m}=1\\ k_{1},k_{2},....,k_{m}\: distincte \end{matrix}}^{n}a_{1k_{1}}a_{2k_{2}}....a_{mk_{m}}B_{k_{1}k_{2}....k_{m}}=
=\sum_{1\leqslant j_{1}<j_{2}<....<j_{m}\leqslant n}^{ }\sum_{\tau \in S_{m}}^{ }a_{1\tau \left ( j_{1} \right )}a_{2\tau \left ( j_{2} \right )}....a_{m\tau \left ( j_{m} \right )}B_{\tau \left ( j_{1} \right )\tau \left ( j_{2} \right )....\tau \left ( j_{m} \right )}=
=\sum_{1\leqslant j_{1}<j_{2}<....<j_{m}\leqslant n}^{ }\sum_{\tau \in S_{m}}^{ }\varepsilon \left ( \tau \right )a_{1\tau \left ( j_{1} \right )}a_{2\tau \left ( j_{2} \right )}....a_{m\tau \left ( j_{m} \right )}B_{ j_{1} j_{2} .... j_{m} }=
=\sum_{1\leqslant j_{1}<j_{2}<....<j_{m}\leqslant n}^{ }B_{ j_{1} j_{2} .... j_{m} }\sum_{\tau \in S_{m}}^{ }\varepsilon \left ( \tau \right )a_{1\tau \left ( j_{1} \right )}a_{2\tau \left ( j_{2} \right )}....a_{m\tau \left ( j_{m} \right )}=
\sum_{1\leqslant j_{1}<j_{2}<....< j_{m}\leqslant n}^{ }A^{j_{1}j_{2}....j_{m}}\cdot B_{j_{1}j_{2}....j_{m}} .
Observatie. In cazul particular n = m, formula Cauchy-Binet ne conduce la egalitatea cunoscuta det\left ( A\cdot B \right )=det\left ( A \right )\cdot det\left ( B \right ) .
Aplicatie:Daca n ≥3 si a_{i},b_{i},c_{i}\in \mathbb{R},i=\overline{1,n}, atunci:
\left | \begin{matrix} a_{1}^{2}+....+a_{n}^{2} &a_{1}b_{1}+....+a_{n}b_{n} &a_{1}c_{1}+....+a_{n}c_{n} \\ a_{1}b_{1}+....+a_{n}b_{n} &b_{1}^{2}+....+b_{n}^{2} &b_{1}c_{1}+....+b_{n}c_{n} \\ a_{1}c_{1}+....+a_{n}c_{n} &b_{1}c_{1}+....+b_{n}c_{n} & c_{1}^{2}+....+c_{n}^{2} \end{matrix} \right |\geqslant 0 .
Solutie.Considerand matricile A=\left ( \begin{matrix} a_{1} &.... &a_{n} \\ b_{1} &.... &b_{n} \\ c_{1} &.... &c_{n} \end{matrix} \right ),B=\left ( \begin{matrix} a_{1} &b_{1} &c_{1} \\ .... &.... &.... \\ a_{n} &b_{n} &c_{n} \end{matrix} \right ), notand cu Δ determinantul din enunt si tinand cont de formula Cauchy-Binet obtinem:
\bigtriangleup =det\left ( A\cdot B \right )=\sum_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}^{ }A^{ijk}\cdot B_{ijk}=
=\sum_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}^{ } \left | \begin{matrix} a_{i} &a_{j} &a_{k} \\ b_{i} &b_{j} &b_{k} \\ c_{i} &c_{j} &c_{k} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} a_{i} &b_{i} &c_{i} \\ a_{j} &b_{j} &c_{j} \\ a_{k} &b_{k} &c_{k} \end{matrix} \right |=\sum_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}^{ } \left | \begin{matrix} a_{i} &a_{j} &a_{k} \\ b_{i} &b_{j} &b_{k} \\ c_{i} &c_{j} &c_{k} \end{matrix} \right |^{^{2}}\geqslant 0 .
Academia de matematica aici:http://robeauty.ro
autoeco.ro%20

 

Determinantul matricei adjuncte

Consideram matricea A=\begin{pmatrix} a_{11} &.... &a_{1j} &.... &a_{1n} \\ .... &.... &.... &.... &.... \\ a_{i1} &.... &a_{ij} &.... &a_{in} \\ .... &.... &.... &.... &.... \\ a_{n1} &.... &a_{nj} &.... &a_{nn} \end{pmatrix} cu elemente numere complexe si definim:

  • \Delta {_{ij}} determinantul matricei obtinuta din matricea A prin eliminarea liniei „i ”  si coloanei  „j ” , i,j\epsilon \left \{ 1,2,....,n \right \};
  • A {_{ij}}=(-1)^{i+j}\Delta {_{ij}} complementul algebric al elementului a {_{ij}}, i,j\epsilon \left \{ 1,2,....,n \right \};
  • A^{*}=\begin{pmatrix} A_{11} &.... &A_{j1} &.... &A_{n1} \\ .... &.... &.... &.... &.... \\ A_{1i} &.... &A_{ji} &.... &A_{ni} \\ .... &.... &.... &.... &.... \\ A_{1n} &.... &A_{jn} &.... &A_{nn} \end{pmatrix} adjuncta matricii A .

In conditiile notatiilor de mai sus demonstram egalitatea:

det\left ( A^{*} \right )=\left [ det(A) \right ]^{n-1}      (1).

Pentru demonstratie consideram urmatoarele cazuri:

\mathit{Cazul\: 1:}det(A)\neq 0. In acest caz matricea A este inversabila si inversa sa este A^{-1}=\frac{1}{det(A)}A^{*}. Se obtine

1=det\left ( I_{n} \right )=det(A)\cdot det\left ( A^{-1} \right )=det(A)\cdot \left (\frac{1}{det(A)} \right )^{n}\cdot det\left ( A^{*} \right ) ,

de unde rezulta egalitatea (1).

\mathit{Cazul\: 2:}A=O_{n}. Avem evident A^{*}=O_{n} , deci det\left ( A^{*} \right )=0.
\mathit{Cazul\: 3:}A\neq O_{n}\: si\: det(A)=0. Pentru a demonstra egalitatea (1) vom considera sistemul omogen:

^{t}\left ( A^{*} \right )X=O_{n,1}\Leftrightarrow \begin{pmatrix} A_{11} &.... &A_{1j} &.... &A_{1n} \\ .... &.... &.... &.... &.... \\ A_{i1} &.... &A_{ij} &.... &A_{in} \\ .... &.... &.... &.... &... \\ A_{n1} &.... &A_{nj} &.... &A_{nn} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_{1}\\ ....\\ x_{i}\\ ....\\ x_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ ....\\ 0\\ ....\\ 0\end{pmatrix}\; \;(S)

Cum A\neq O_{n} , exista i,j∈{1,2,….,n } astfel incat a_{ij}\neq 0 si atunci sistemul omogen (S ) va avea solutia nebanala x_{1}=a_{i1},....,x_{j}=a_{ij},....,x_{n}=a_{in}, ceea ce conduce la  det\left ( A^{*} \right )=0.

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

 

avon.ro%20

Calculul unui determinant folosind metoda lui Laplace

In cele ce urmeaza vom considera A=\left ( a_{_{ij}} \right )_{_{1\leqslant i\leq n,1\leqslant j\leq \leqslant n}} o matrice patratica de ordinul n, n ≥ 2,al carui determinant il notam cu D.

Pentru p  numar natural, 1≤p<n, vom considera numerele naturale i{_{1}},i{_{2}},....,i{_{p}},i_{p+1},.....,i{_{n}} si j{_{1}},j{_{2}},....,j{_{p}},j_{p+1},.....,j{_{n}}, cu proprietatile

1\leq i{_{1}}<i{_{2}}<....<i{_{p}}\leqslant n,1\leqslant i_{p+1}<.....<i{_{n}}\leqslant n
\left \{ i_{1},i_{2},....,i_{n} \right \}=\left \{ 1,2,....,n \right \}

1\leq j{_{1}}<j{_{2}}<....<j{_{p}}\leqslant n,1\leqslant j_{p+1}<.....<j{_{n}}\leqslant n
\left \{ j_{1},j_{2},....,j_{n} \right \}=\left \{ 1,2,....,n \right \}

si vom defini:

  • minor de ordinul p  al matricei A , determinantul matricei de ordinul p , formata cu elementele situate la intersectia a linii si p  coloane din matricea A. Pentru un minor de ordinul p  vom folosi notatia:

D\begin{bmatrix} i_{1} &i_{2} &.... &i_{p} \\ j{_{1}} &j_{2} &.... &j{_{p}} \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} a{_{i{_{1}j{_{1}}}}} &a{_{i{_{1}j{_{2}}}}} &.... &a{_{i{_{1}j{_{p}}}}} \\ a{_{i{_{2}j{_{1}}}}} &a{_{i{_{2}j{_{2}}}}} &.... &a{_{i{_{2}j{_{p}}}}} \\ .... &.... &.... &.... \\ a{_{i{_{p}j{_{1}}}}} &a{_{i{_{p}j{_{2}}}}} &.... &a{_{i{_{p}j{_{p}}}}} \end{vmatrix} .

  • minor complementar al minorului de ordinul p , D\left [ \begin{matrix} i{_{1}} &i_{2} &.... &i_{p} \\ j_{1} &j_{2} &.... &j_{p} \end{matrix} \right ]  al matricei A, determinantul matricei cu n-p linii si n-p coloane, obtinuta din matricea A  prin eliminarea celor linii si p  coloane corespunzatoare minorului D\left [ \begin{matrix} i{_{1}} &i_{2} &.... &i_{p} \\ j_{1} &j_{2} &.... &j_{p} \end{matrix} \right ] , adica minorul D\left [ \begin{matrix} i{_{p+1}} &i_{p+2} &.... &i_{n} \\ j_{p+1} &j_{p+2} &.... &j_{n} \end{matrix} \right ] .
  • complement algebric sau cofactor al minorului de ordinul p , D\left [ \begin{matrix} i{_{1}} &i_{2} &.... &i_{p} \\ j_{1} &j_{2} &.... &j_{p} \end{matrix} \right ]  al matricei A, numarul \overline{D}\left [ \begin{matrix} i{_{1}} &i{_{2}} &.... &i{_{p}} \\ j_{1} &j{_{2}} &.... &j{_{p}} \end{matrix} \right ]=(-1)^{{i_{1}+i_{2}+....+i_{p}+j_{1}+j_{2}+....+j_{p}}}\cdot D\left [ \begin{matrix} i{_{p+1}} &i_{p+2} &.... &i_{n} \\ j_{p+1} &j_{p+2} &.... &j_{n} \end{matrix} \right] .

**

Pentru  1≤p<n, fixand liniile 1\leq i{_{1}}<i_{2}<....<i{_{p}}\leqslant n , determinantul D al matricei A se poate calcula cu formula urmatoare, numita si dezvoltarea dupa liniile i{_{1}},i_{2},....,i{_{p}} (teorema lui Laplace) .

D=\sum_{1\leqslant j{_{1}<j_{2}<....<j{_{p}\leqslant n}}}^{ }D\left [ \begin{matrix} i{_{1}} &i_{2} &.... &i_{p} \\ j_{1} &j_{2} &.... &j_{p} \end{matrix} \right ]\cdot \overline{D}\left [ \begin{matrix} i{_{1}} &i_{2} &.... &i_{p} \\ j_{1} &j_{2} &.... &j_{p} \end{matrix} \right ]

Observatii:

1.O dezvoltarea asemanatoare se poate face dupa coloanele fixate 1\leq j{_{1}}<j_{2}<....<j{_{p}}\leqslant n :

D=\sum_{1\leqslant i{_{1}<i_{2}<....<i{_{p}\leqslant n}}}^{ }D\left [ \begin{matrix} i{_{1}} &i_{2} &.... &i_{p} \\ j_{1} &j_{2} &.... &j_{p} \end{matrix} \right ]\cdot \overline{D}\left [ \begin{matrix} i{_{1}} &i_{2} &.... &i_{p} \\ j_{1} &j_{2} &.... &j_{p} \end{matrix} \right ] .

2.In cazul particular cand p=1, se obtine ceea ce se numeste dezvoltarea determinantului dupa o linie sau dupa o coloana.

Aplicatie.

Daca a{_{i}},b{_{i}},c{_{i}},d{_{i}}\epsilon \, C,i=\overline{1,2} , sa se demonstreze egalitatea:

\left | \begin{matrix} a{_{1}}c_{1} &a{_{2}}d{_{1}} &a_{1}c_{2} &a_{2}d_{2} \\ a_{3}c_{1} &a_{4}d_{1} &a_{3}c_{2} &a_{4}d_{2} \\ b_{1}c_{3} &b_{2}d_{3} &b{_{1}}c_{4} &b_{2}d_{4} \\ b_{3}c_{3} &b_{4}d_{3} &b_{3}c_{4} &b_{4}c_{4} \end{matrix} \right |=\left | \begin{matrix} a_{1} &a_{2} \\ a_{3} &a_{4} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} b_{1} &b_{2} \\ b_{3} &b_{4} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} c_{1} &c_{2} \\ c_{3} &c_{4} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} d_{1} &d_{2} \\ d_{3} &d_{4} \end{matrix} \right | .

Solutie.

Dezvoltand determinantul de ordinul patru dupa primele doua linii, conform formulei lui Laplace, obtinem:

\left | \begin{matrix} a{_{1}}c_{1} &a{_{2}}d{_{1}} &a_{1}c_{2} &a_{2}d_{2} \\ a_{3}c_{1} &a_{4}d_{1} &a_{3}c_{2} &a_{4}d_{2} \\ b_{1}c_{3} &b_{2}d_{3} &b{_{1}}c_{4} &b_{2}d_{4} \\ b_{3}c_{3} &b_{4}d_{3} &b_{3}c_{4} &b_{4}c_{4} \end{matrix} \right |=

(-1)^{1+2+1+2}\left | \begin{matrix} a_{1}c_{1} &a{_{2}}d_{1} \\ a_{3}c_{1} &a_{4}d_{1} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} b_{1}c_{4} &b_{2}d_{4} \\ b_{3}c_{4} &b_{4}c_{4} \end{matrix} \right |+(-1)^{1+2+1+3}\left | \begin{matrix} a_{1}c_{1} &a_{1}c_{2} \\ a_{3}c_{1} &a_{3}c{_{2}} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} b_{2}d_{3} &b_{2}d_{4} \\ b_{4}d_{3} &b_{4}c_{4} \end{matrix} \right |+

(-1)^{1+2+1+4}\left | \begin{matrix} a_{1}c_{1} &a{_{2}}d_{2} \\ a_{3}c_{1} &a_{4}d_{2} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} b_{2}d_{3} &b_{1}c_{4} \\ b_{4}d_{3} &b_{3}c_{4} \end{matrix} \right |+(-1)^{1+2+2+3}\left | \begin{matrix} a_{2}d_{1} &a_{1}c_{2} \\ a_{4}d_{1} &a_{3}c{_{2}} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} b_{1}c_{3} &b_{2}d_{4} \\ b_{3}c_{3} &b_{4}c_{4} \end{matrix} \right |+

(-1)^{1+2+2+4}\left | \begin{matrix} a_{2}d_{1} &a{_{2}}d_{2} \\ a_{4}d_{1} &a_{4}d_{2} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} b_{1}c_{3} &b_{1}c_{4} \\ b_{3}c_{3} &b_{3}c_{4} \end{matrix} \right |+(-1)^{1+2+3+4}\left | \begin{matrix} a_{1}c_{2} &a_{2}d_{2} \\ a_{3}c_{2} &a_{4}d{_{2}} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} b_{1}c_{3} &b_{2}d_{3} \\ b_{3}c_{3} &b_{4}d_{3} \end{matrix} \right |=

c_{1}c{_{4}}d_{1}d_{4}\left | \begin{matrix} a_{1} &a_{2} \\ a_{3} &a_{4} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} b_{1} &b_{2} \\ b_{3} &b_{4} \end{matrix} \right |-0+c_{1}c_{4}d_{2}d_{3}\left | \begin{matrix} a_{1} &a_{2} \\ a_{3} &a_{4} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} b_{2} &b_{1} \\ b_{4} &b_{3} \end{matrix} \right |+

c_{2}c_{3}d_{1}d_{4}\left | \begin{matrix} a_{2} &a_{1} \\ a_{4} &a_{3} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} b_{1} &b_{2} \\ b_{3} &b_{4} \end{matrix} \right |-0+c_{2}c_{3}d_{2}d_{3}\left | \begin{matrix} a_{1} &a_{2} \\ a_{3} &a_{4} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} b_{1} &b_{2} \\ b_{3} &b_{4} \end{matrix} \right |=

\left | \begin{matrix} a_{1} &a_{2} \\ a_{3} &a_{4} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} b_{1} &b_{2} \\ b_{3} &b_{4} \end{matrix} \right |\left (c_{1}c_{4}d_{1}d_{4} -c{_{1}c_{4}d_{2}d_{3}-c_{2}c_{3}d{_{1}d_{4}}}+c_{2}c_{3}d_{2}d{_{3}} \right )=

\left | \begin{matrix} a_{1} &a_{2} \\ a_{3} &a_{4} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} b_{1} &b_{2} \\ b_{3} &b_{4} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} c_{1} &c_{2} \\ c_{3} &d_{4} \end{matrix} \right |\cdot \left | \begin{matrix} d_{1} &d_{2} \\ d_{3} &d_{4} \end{matrix} \right | .

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

orange.ro

Schema lui Poisson (binomiala generalizata)

Ne ocupam mai intai de schema lui Poisson cu doua culori.

Consideram n  urne U1, U2,…..,Un contin fiecare bile de doua culori c1 si c2, astfel incat:

  • probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c1 , c2  din urna U1 sunt p1 respectiv q1=1-p1 ;
  • probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c1 , c2  din urna U2 sunt p2 respectiv q2=1-p2 ;
  • ……………………………………………………………………………………………………………..
  • probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c1 , c2  din urna Un sunt pn respectiv qn=1-pn .

Din fiecare urna extragem cate o bila si notam cu A_{i+j}^{i,j} evenimentul  extragerii a i  bile de culoare c1 si a  j  bile de culoare c2  ( i+j = n ). Atunci probabilitatea evenimentului  A_{i+j}^{i,j}  este coeficientul lui  xi · y j  din dezvoltarea:

\left ( p_{1}x+q_{1}y \right )\left ( p_{2}x+q_{2}y \right ).....\left ( p_{n}x+q_{n}y \right ).

Intr-adevar notand cu Am , Bm  evenimentele extragerii unei bile de culoare c1 , respectiv de culoare c2 , din urna Um , m∈{ 1,2,….,n }, atunci evenimentul A_{i+j}^{i,j}  se scrie ca o reuniune de evenimente incompatibile doua cate doua astfel:

A_{i+j}^{i,j}=\bigcup_{1\leq r_{1}<....r_{i}\leq n;1\leq s_{1}<....\leq s_{j}\leq n;\left \{ r_{1} ,....,r_{i}\right \}\cup \left \{ s_{1},....,s_{j} \right \}=\left \{ 1,2,....,n \right \}}^{ }\left [ \left ( A_{r_{1}} \cap ....\cap A_{r_{i}} \right )\cap \left ( B_{s_{1}} \cap ....\cap B_{s_{j}} \right ) \right ] .

Tinand cont si de faptul ca evenimentele Am si  Bmm∈{ 1,2,….,n }  sunt independente obtinem:

P\left (A_{i+j}^{i,j} \right )=

\sum_{1\leq r_{1}<....r_{i}\leq n;1\leq s_{1}<....\leq s_{j}\leq n;\left \{ r_{1} ,....,r_{i}\right \}\cup \left \{ s_{1},....,s_{j} \right \}=\left \{ 1,2,....,n \right \}}^{ }P\left [ \left ( A_{r_{1}} \cap ....\cap A_{r_{i}} \right )\cap \left ( B_{s_{1}} \cap ....\cap B_{s_{j}} \right ) \right ]=

\sum_{1\leq r_{1}<....r_{i}\leq n;1\leq s_{1}<....\leq s_{j}\leq n;\left \{ r_{1} ,....,r_{i}\right \}\cup \left \{ s_{1},....,s_{j} \right \}=\left \{ 1,2,....,n \right \}}^{ }p_{r_{1}}\cdot ...p_{r_{i}}\cdot q_{s_{1}}\cdot ...\cdot q_{s_{j}} ,

de unde rezulta concluzia.

 

Schema lui Poisson cu doua culori se poate generaliza la schema lui Poisson cu mai multe culori, de exemplu pentru trei culori:

Consideram n  urne U1, U2,…..,Un contin fiecare bile de trei culori c1 , c2  si  c3 , astfel incat:

  • probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c1 , c2 , c3  din urna U1 sunt p1 , q1 , respectiv r1 = 1-p1q1 ;
  • probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c1 , c2 , c3  din urna U2 sunt p2 , q2  , respectiv r2 = 1-p2q2 ;
  • ……………………………………………………………………………………………………………..
  • probabilitatile extragerii unei bile de culoarea c1 , c2 , c3  din urna Un sunt pn , qn , respectiv rn = 1-pnqn .

Din fiecare urna extragem cate o bila si notam cu A_{i+j+k}^{i,j,k} evenimentul  extragerii a i  bile de culoare c1 , a  j  bile de culoare c2  si a k  bile de culoare c2 ( i+j+k = n ). Atunci probabilitatea evenimentului  A_{i+j+k}^{i,j,k}  este coeficientul lui   xi · y j  · zk din dezvoltarea:

\left ( p_{1}x+q_{1}y+r_{1}z \right )\left ( p_{2}x+q_{2}y+r_{2}z \right ).....\left ( p_{n}x+q_{n}y+r_{n}z \right ).

Exemplu:

Situatiea limbii materne a locuitorilor a trei orase A, B, C se prezinta astfel:

  • In orasul A , 45% dintre locuitori au limba materna engleza, 35% franceza si restul o alta limba;
  • In orasul B35% dintre locuitori au limba materna engleza, 50% franceza si restul o alta limba;
  • In orasul C55% dintre locuitori au limba materna engleza, 40% franceza si restul o alta limba .

Daca se alge la intamplare cate un locuitor din fiecare oras, atunci, folosind schema lui Poisson cu trei culori, probabilitatea ca cele trei persone sa aiba limbi materne diferite este coeficientul lui x ·y ·z din dezvoltarea

(0,45x+0,35y+0,20z)(0,35x+0,50y+0,15z)(0,55x+0,40y+0,05z)  , adica

p=0,45·0,50·0,05+0,45·0,15·0,40+0,35·0,35·0,05+

0,35·0,15·0,55+0,20·0,35·0,40+0,20·0,50·0,55=0,15625≅0,16 .

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

Telekom.ro

Schema lui Pascal (schema geometrica sau schema succesului)

Fie o urna care contine bile albe si bile negre. Daca se extrage o bila alba spunem ca am avut succes, iar in caz contrar spunem ca am avut insucces. Consideram ca probabilitatea de a avea succes este p iar probabilitatea de a avea insucces este q=1-p.

Extragem din urna pe rand cate o bila cu intoarcere si notam cu A_{n}^{k}  evenimentul ca pana la al n-lea succes sa fi avut insuccese (0≤k≤n-1 ). Atunci probabilitatea evenimentului A_{n}^{k}  este data de formula:

P\left (A_{n}^{k} \right )=C_{n+k-1}^{k} \: p^{n} q^{k} .

Intr-adevar notam cu X_{n+k-1}^{k} evenimentul ca in primele n+k-1 extrageri sa fi avut k   insuccese si  n-1 succese si cu Y  evenimentul ca la extragere n-k  sa avem succes. Din schema lui Bernoulli avem P\left (X_{n+k-1}^{k} \right ) =C_{n+k-1}^{k}q^{k}p^{n-1} si cum evenimentele X_{n+k-1}^{k}  si Y  sunt independente obtinem:

P\left (A_{n}^{k} \right ) =P\left (X_{n+k-1}^{k} \cap Y \right )=P\left (X_{n+k-1}^{k} \right ) \cdot P\left ( Y \right )=

=C_{n+k-1}^{k}q^{k}p^{n-1}\cdot p=C_{n+k-1}^{k}p^{n}q^{k} .

Exemplu:

Daca un tragator nimereste tinta cu probabilitatea p = 0,7 , atunci probabilitatea ca tragatorul sa nimereaca tinta dupa 4 ratari este P\left (A_{1}^{4} \right ) =C_{1+4-1}^{4}\cdot 0,7^{5}\cdot 0,3^{4}\cong 0,0056 .

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

Cel.ro

Shema hipergeometrica (a bilei neintoarsa)

Consideram o urna care contine:

  • N1  bile de culoarea c1 ;
  • N2  bile de culoarea c2 ;
  • ……………………………;
  • Nr  bile de culoarea cr .

Extragem din urna n  bile fara intoarcere si notam  cu A_{{k_{1}+k_{2}+.....+k_{r}}}^{k_{1},k_{2},.....,k_{r}}   evenimentul ca din cele n  bile extrase k1  bile sa aiba culoarea c1 , k2  bile sa aiba culoarea c2 ,…..,kr  bile sa aiba culoarea cr
( k1N1 , k2≤N2 ,….. ,kr≤Nr , k1+k2+….+kr = n ). Atunci probabilitatea evenimentului A_{{k_{1}+k_{2}+.....+k_{r}}}^{k_{1},k_{2},.....,k_{r}} este data de formula:

P\left (A_{{k_{1}+k_{2}+.....+k_{r}}}^{k_{1},k_{2},.....,k_{r}} \right )=\frac{C_{N_{1}}^{k_{1}}\cdot C_{N_{2}}^{k_{2}}\cdot .....\cdot C_{N_{r}}^{k_{r}}}{C_{N_{1}+N_{2}+....+N_{r}}^{k_{1}+k_{2}+.....+k_{r}}}

Intr-adevar numarul de cazuri posibile este C_{N_{1}+N_{2}+.....+N_{r}}^{k_{1}+k_{2}+......k_{r}}, iar numarul de moduri in care pot fi alese ki  bile  de culoare ci  este C_{N_{i}}^{k_{i}},i\epsilon \left \{ 1,2,...,r \right \}, deci conform principiului multiplicitatii numarul de cazuri favorabile este C_{N_{1}}^{^{k_{1}}}\cdot C_{N_{2}}^{^{k_{2}}}\cdot ......\cdot C_{N_{r}}^{^{k_{r}}}  .

Exemplu:

Daca intr-un set de 100 de chestionare asupra unei opinii , se stie ca 45 de persoane au raspuns „da”, 35 au raspuns „nu”  si 20 au raspuns „nu stiu”, atunci atunci probabilitatea ca alegand la intamplare 10  chestionare din cele 100, sa gasim in acestea 6 raspunsuri „da”, 3 raspunsuri „nu” si un raspuns „nu stiu”, va fi P\left ( A_{10}^{6,3,1} \right )=\frac{C_{45}^{6}\cdot C_{35}^{3}\cdot C_{20}^{1}}{C_{100}^{10}}\cong 0,061 .

Academia de matematica aici:http://robeauty.ro

Clickshop.ro